Resumo de matematica: Sequências - Progressão Geométrica.

PG - Definicao - Classificacao - Termo Geral

Definimos Progressão Geométrica (PG) como qualquer sequência numérica na qual todo termo, a partir do segundo, é obtido pelo produto do termo anterior por uma constante, que chamamos de razão. Por exemplo, a sequência (1, 2, 4, 8, 16, ...) possui razão igual a 2, pois cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se 2 pelo termo anterior. Neste exemplo, a PG é crescente, mas pode ser também decrescente (27, 9, 3, 1, ...), constante (2, 2, 2, 2, 2, ...) ou oscilante (-3, 9, -27, 81, ...).

Em problemas que envolvem PG, é muito comum a busca por um termo bem distante dos termos iniciais. Para isto, temos a fórmula do Termo Geral, que nos possibilita encontrar qualquer termo da PG, dados a razão e o primeiro termo. Esta fórmula é:

$a_n= a_1\cdot q^{n-1},$

na qual a1 é o primeiro termo, q é a razão e an é o termo que está na posição n.

PG - Produto dos n primeiros termos e Propriedades

O produto dos termos de uma Progressão Geométrica pode ser determinado pela fórmula:

$P_n= a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$

na qual a1 é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos envolvidos no produto.
Algumas propriedades são muito importantes para a resolução de problemas que envolvem PG. Uma delas é a relação entre três números consecutivos: o termo do meio é a média geométrica dos termos dos extremos, ou seja, se (a, b, c) é uma PG, então

$b^2= ac.$

Outra maneira de representar três números em PG é $\left (\frac{x}{q},x,xq \right )$

PG - Soma dos n primeiros termos e soma dos infinitos termos

A soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica, Sn, é

$S_n=\frac{a_1(1- q^n)}{1-q},$

na qual $a_1$ e $q$ são, respectivamente, primeiro e razão desta sequência.

Mas caso $-1<q<1$ , e a quantidade de termos da PG seja infinita, a fórmula que usaremos para a soma é

$S_\infty =\frac{a_1}{1-q}$ .

Por exemplo, na PG (8, 4, 2, 1, ...), $a_1=8\,\, e\,\, q= 12$ , consequentemente, a soma dos infinitos termos é

$S_\infty =\frac{a1}{1-q}= \frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot 2=16$ ,

que é algo incrível, pois somamos uma infinidade de parcelas e encontramos 16 como resultado!!!

PG - Exercícios resolvidos - Parte 1

Uma propriedade importante das Progressões Geométricas é o fato de o termo central de 3 termos em PG ser a média geométrica dos dois extremos. Isso significa que podemos nos deparar com uma equação do 2º grau quando aplicarmos essa propriedade. Por exemplo, seja a PG $\left ( \frac{x}{4},x-2,x \right )$ crescente e com todos os termos positivos, determine x.

Aplicando a propriedade, temos:

$(x-2)^2=\frac{x}{4}\cdot x$

$x^2-4x+4=\frac{x^2}{4}$

$4x^2-16x+16=x^2$

$3x^2-16x+16=0$

Aplicando a fórmula resolutiva do 2º grau, obtemos:

$x=\frac{16\pm \sqrt{256-192}}{6}$
$x=\frac{16\pm 8}{6}$

Com isso, chegamos a duas raízes: 4 e 4/3. Como todos termos devem ser positivos, o valor de x é 4.

PG - Exercícios resolvidos - Parte 2

Existe uma relação direta entre Progressão Geométrica e Juros Compostos. Para o cálculo do montante de uma aplicação a juros compostos, utilizamos a relação:

$M=C\cdot(1+i)^t,$

na qual M é o montante resultado de uma aplicação C de capital a juros compostos i por um temo t. Esta fórmula lembra muito a fórmula do termo geral da PG:

$a_n= a_1\cdot q^{n-1}.$

Perceba na fórmula de juros compostos que M é o termo geral de uma PG, na qual C é o 1º termo, $(1+i)$ é a razão e t é o mesmo que $(n-1)$ .