Resumo de matematica: Potências

Potenciação

Por: Aline Ribeiro

1. O que é potenciação: A potenciação é uma sucessão de multiplicações que pode ser escrita de maneira mais concisa.

1.1. Definição 1: Sejam $a\ \epsilon \ \mathbb{R}, \ n\ \epsilon \mathbb\ {N}^{*} e \ n>1$ . A potência $a^{n}$ é definida como o produto de fatores iguais a , ou seja,

$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot a}$

$n\;vezes$

O número é chamado é chamado de base e expoente da potência $a^{n}$ .

$(Base \ -\ Numero\ que \ se \ repete)^{}\ a^{n\ (Expoente\ -\ Quantidade \ de \ vezes \ que \ a \ base \ repete)}$

Exemplo 1: Calcule o valor de $3^{4}$ . Nessa potência temos 3 como base e 4 como expoente. Então devemos multiplicar a base por ela mesmo 4 vezes.
$3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243$

Exemplo 2: Calcule o valor de $2^{8}$ . Nessa potência temos 2 como base e 8 como expoente. Então devemos multiplicar a base por ela mesmo 8 vezes.

$2^{8}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=256$

1.2. Definição 2: O resultado de toda potência com expoente igual a 1 é a própria base.

$a^{1} = a$

Exemplo 1: Calcule o valor de $98473628^{1}$ . Nessa potência temos 98473628 como base e 1 como expoente. Então devemos multiplicar a base

por ela mesmo 1 vez.

$98473628^{1} =98473628$

Observação: $a^{b}\neq b^{a}$

$2^{3}\neq 3^{2}$

$2\cdot 2\cdot 2\neq 3\cdot 3$

$8\neq 9$

2. Propriedade Fundamental: Sejam $n,\ m\ \epsilon \ \mathbb{N}^{*}$ e $a\ \epsilon \ \mathbb{R}$ .

$a^{n}\cdot a^{m}=\left (\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot a} \right )\cdot \left (\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot a} \right )$

$n\ vezes\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\ vezes$

Ao todo temos n+m fatores, por isso:

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

No produto de potências de mesma base, mantém a base e soma os expoentes.

Exemplo 1: Calcule o valor de $3^{2}\cdot 3^{4}$ . Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e somar os expoentes.

$3^{2}\cdot 3^{4}=3^{2+4}=3^{6}=729$

Exemplo 2: Calcule o valor de $x^{21}\cdot x^{14}$ . Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e somar os expoentes.

$x^{21}\cdot x^{14}=x^{21+14}=x^{35}$

3. Definindo potências com expoentes não positivos $\left ( n\leq 0 \right )$ :

3.1. Definição 3: Para n = 0 (expoente nulo) e $a\neq 0$ , iremos utilizar a propriedade 1:

$m=0\rightarrow a^{n}\cdot a^{0}=a^{n+0}=a^{n}$

$a^{n}\cdot a^{0}=a^{n}$

$a^{0}=\frac{a^{n}}{a^{n}}=1$

Com isso, podemos definir que qualquer número elevado a zero é um.

$a^{0}=1$

Exemplo 1: Calcule o valor de $787654356 ^{0}$ . Como o expoente é zero, podemos simplesmente:

$787654356 ^{0}=1$

Exemplo 2: Calcule o valor de $abcde^{0}$ . Como o expoente é zero, podemos simplesmente:

$abcde^{0}=1$

3.2. Definição 4: Para $n< 0 \; e\;a\neq 0$ , utilizaremos novamente a propriedade 1.

$m=-n\rightarrow a^{n}\cdot a^{-n}=a^{0}$

$a^{n}\cdot a^{-n}=a^{0}= 1$

$a^{-n}= \frac{1}{a^{n}}$

Desse modo, definimos $a^{-n}$ como sendo o inverso de $a^{n}$ .

Exemplo 1: Calcule o valor de $2^{-2}$ . Essa potência será o inverso de $2^{2}$ . Então:

$2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$

Exemplo 2: Calcule o valor de $\left (\frac{1}{7} \right )^{-1}$ . Essa potência será o inverso de $\left (\frac{1}{7} \right )^{1}$ .Então:

$\left (\frac{1}{7} \right )^{-1}= \frac{7}{1}=7$

Observação: Quando a base da potência é negativa todas as definições e propriedades são válidas, só é necessário

atentar ao sinal. Observe:

$(-3)^{4}=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)$

$(-3)^{4}=9\cdot 9=81$

$(-3)^{5}=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)$

$(-3)^{5}=9\cdot 9\cdot(-3)$

$(-3)^{5}=81\cdot(-3) = -243$

Com isso, para a<0 e $a^{n}$ com $n\:\epsilon\: \mathbb{N}^{*}$ , a potência terá resultado positivo se n for par e resultado negativo se n for ímpar.

4. Propriedades gerais:

4.1. Divisão de potências de mesma base: Sejam $n,\;m\;\epsilon \;\mathbb{N}$ e $a\;\epsilon \;\mathbb{R}^{*}$ .

$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n}\cdot a^{-m}=a^{n+(-m)}$

Desse modo,

$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$

No quociente de duas potências de mesma base, mantém a base e subtrai os expoentes.

Exemplo 1: Calcule o valor de $\frac{3^{4}}{3^{2}}$ . Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e subtrair os expoentes.

$\frac{3^{4}}{3^{2}}=3^{4-2}=3^{2}=3\cdot 3=9$

Exemplo 2: Calcule o valor de $\frac{x^{14}}{x^{21}}$ . Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e subtrair os expoentes.

$\frac{x^{14}}{x^{21}}=x^{14-21}=x^{-7}=\frac{1}{x^{7}}$

4.2. Potência de potência: Sejam $n,\;m\;\epsilon \mathbb\;{N}$ e $a\;\epsilon \mathbb\;{R}$ .

$\left ( a^{n} \right )^{m}=\underbrace{a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ a^{n}}$

$m\ vezes$

$(a^{n})^{m}=a^{n+n+n+\cdot \cdot \cdot +n\;(m \;vezes)}$

Desse modo,

$(a^{n})^{m}=a^{n \cdot m}$

Na potência de uma potência, mantém a base e multiplica os expoentes.

Exemplo 1: Calcule o valor de $(3^{4})^{2}$ . Nesse caso podemos usar a propriedade de potência de potência.

$(3^{4})^{2}=3^{4\cdot 2}=3^{8}=6561$

Exemplo 2: Calcule o valor de $(5^{18})^{0}$ . Nesse caso podemos usar a propriedade de potência de potência.

$(5^{18})^{0}=5^{18\cdot 0}=5^{0}=1$

Observação 1: A propriedade de potência de potência também é válida para expoentes negativos.

$(a^{-n})^{m}=\left (\frac{1}{a^{n}} \right )^{m}=\frac{1^{m}}{a^{n\cdot m}}=\frac{1}{a^{n\cdot m}}=a^{-n\cdot m}$

$(a^{-n})^{m}=a^{-n\cdot m}$

Observação 2: $(a^{n})^{m}\neq a^{n^{m}}$ , pois:

$\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{n\cdot m}$

$a^{n^{m}} =a^{n\cdot n\cdot n\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot n\ (m\ vezes)}$

Como $n\cdot m\neq n\cdot n\cdot n\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot n\ (m\ vezes)$ então:

$(a^{n})^{m}\neq a^{n^{m}}$

4.3. Potência de um produto: Sejam $n\;\epsilon \;\mathbb{N}$ e $a,\;b\;\epsilon\; \mathbb{R}$ .

$(a\cdot b)^{n}=\underbrace{(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot (a\cdot b)}$

$n\ vezes$

$\left ( a\cdot b \right )^{n}=\underbrace{\left ( a\cdot a\cdot a\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot a \right )}\cdot \underbrace{\left ( b\cdot b\cdot b\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot b \right )}$

$n\ vezes\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\ vezes$

Desse modo,

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot a^{m}$

A potência de um produto é o produto das potências.

Exemplo 1: Calcule o $(2^{5}\cdot 1^{23})^{2}$ . Nesse caso vamos utilizar a propriedade de potência do produto.

$(2^{5}\cdot 1^{23})^{2}=2^{5\cdot 2}\cdot 1^{23\cdot 2}=2^{10}\cdot 1^{46}=1024\cdot 1=1024$

Exemplo 2: Calcule o . Nesse caso vamos utilizar a propriedade de potência do produto.

$(2\cdot x^{2})^{3}=2^{3}\cdot x^{2\cdot 3}=2^{3}\cdot x^{6}=8\cdot x^{6}$

4.4. Potência de um quociente: Sejam $n\;\epsilon \;\mathbb{N}$ e $a,\;b\;\epsilon \;\mathbb{R}$ .

$\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\underbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot \frac{a}{b}}$

$n\ vezes$

$\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;a}{b\cdot b\cdot b\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot b}$

Desse modo,

$\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$

A potência de um quociente é o quociente das potências.

Exemplo 1: Calcule o valor de $\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}$ . Nesse caso usaremos a propriedade de potência de um quociente.

$\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}=\frac{2^{2}}{3^{2}}=\frac{4}{9}$

Exemplo 2: Calcule o valor de $\left ( \frac{x^{3}}{3} \right )^{3}$ . Nesse caso usaremos a propriedade de potência de um quociente.

$\left ( \frac{x^{3}}{3} \right )^{3}=\frac{x^{3\cdot 3}}{3^{3}}=\frac{x^{9}}{27}$

5. Expoente irracional: As potências com expoentes irracionais são resolvidas da mesma maneira que as potências com expoentes racionais.

Todas as definições e propriedades são válidas e podem ser usadas. A única diferença é que as potências de expoentes irracionais são

feitas por meio de aproximações.

Exemplo 1: Calcule o valor de $3^{\sqrt{7}}$ . Sabemos que $\sqrt{7}\simeq 2,64575131...$ .Vamos considerar $\sqrt{7}\simeq 2,64$ , então:

$3^{\sqrt{7}}\simeq 3^{2,64}= 18,1802609$

Se considerarmos $\sqrt{7}\simeq 2,6457$ então:

$3^{\sqrt{7}}\simeq 3^{2,6457}= 18,2944646$

Quanto mais casas decimais usarmos para fazer o cálculo, mais aproximado será o valor da potência.

Exemplo 2: Calcule o valor de $\left ( \frac{2}{3^{2}} \right )^{\sqrt{3}}$ . Antes de calcularmos o valor aproximado da $\sqrt{3}$ , vamos simplificar as potências:

$\left ( \frac{2}{3^{2}} \right )^{\sqrt{3}}=\frac{2^{\sqrt{3}}}{3^{2\sqrt{3}}}$

Agora que já reduzimos ao máximo nossas potências, vamos calcular o valor aproximado delas:

$\sqrt{3}\simeq 1,732$

Então,

$\left ( \frac{2}{3^{2}} \right )^{\sqrt{3}}\simeq \frac{2^{\sqrt{3}}}{3^{2\sqrt{3}}}=\frac{2^{1,732}}{3^{2\cdot 1,732}}=\frac{3,3218801}{44,9518972}=0,07389855$