Resumo de matematica: Números Binomiais III

Binômio de Newton

Chama-se Binômio de Newton, a todo binômio do tipo: $(x+y)^n$ para $n\,\epsilon \,\mathbb{N}$ e $x,y\,\epsilon \,\mathbb{R}$

Vamos usar a indução vulgar e analisar o desenvolvimento do binômio para valores pequenos de $n$ .

$n=0\Rightarrow (x+y)^0=1$
$n=1\Rightarrow (x+y)^1=1x+1y$
$n=2\Rightarrow (x+y)^2=1x^2+2xy+1y^2$
$n=3\Rightarrow (x+y)^3=1x^3+3x^2y+3xy^2+1y^3$
$n=4\Rightarrow (x+y)^4=1x^4+4x^3y+6x^2y^2++4xy^3+1y^4$
...

Do exposto acima, podemos concluir que:

Os coeficientes dos termos no binômio de Newton serão os elementos da linha no Triângulo Aritmético;
O desenvolvimento de $(x+y)^n$ apresenta $n+1$ termos;
O primeiro termo de $(x+y)^n$ e o último serão iguais a 1;
As potências de $x$ decrescem de $n$ até 0, enquanto os de $y$ crescem de 0 até $n$ ;
A soma dos expoentes de $x$ e $y$ será sempre igual a linha $n$ ;
O termo central de um binômio existe apenas para n par e sua posição é dada por $n^2+1$ .

Representando os coeficientes no desenvolvimento dos binômios, tem-se que:

$n=0\Rightarrow (x+y)^0=\binom{0}{0}$
$n=1\Rightarrow (x+y)^1=\binom{1}{0}x+\binom{1}{1}y$
$n=2\Rightarrow (x+y)^2=\binom{2}{0}x^2+\binom{2}{1}xy+\binom{2}{2}y^2$
$n=3\Rightarrow (x+y)^3=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2y+\binom{3}{2}xy^2+\binom{3}{3}y^3$
$n=4\Rightarrow (x+y)^4=\binom{4}{0}x^4+\binom{4}{1}x^3y+\binom{4}{2}x^2y^2+\binom{4}{3}xy^3+\binom{4}{4}y^4$
...

Generalizando,

$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots ++\binom{n}{n}x^{0}y^{n}$

Binômio de Newton - Outros exemplos

OBS 1: Sabe-se que os coeficientes no desenvolvimento do binômio seguem as linhas do Triângulo Aritmético, assim, os termos equidistantes dos extremos de cada linha são iguais.

OBS 2: No desenvolvimento do binômio $(x-y)^n$ , para $n\,\epsilon \,\mathbb{N}$ e $x,y\,\epsilon \,\mathbb{R}$ , tem-se que os termos de:

Ordem ímpar $(T_1, T_3, T_5, ...)$ terá o sinal positivo.
Ordem par $(T_2, T_4, T_6, ...)$ terá o sinal negativo.

OBS 3: As expansões do binômio $(x+y)^n$ , para $n\,\epsilon \,\mathbb{N}$ e $x,y\,\epsilon \,\mathbb{R}$ , podem ser rescritas por questões de conveniência.

Exemplo: Determine o valor numérico da expressão $a^3 - b^3 + 3ab^2 - 3a^2b$ , para $a=\frac{\sqrt[3]{3}+2}{\sqrt[3]{2}}$ e $b=\frac{\sqrt[3]{3}-2}{\sqrt[3]{2}}$ .

$a^3 - b^3 + 3ab^2 - 3a^2b = a^3- 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$(a - b)^3 =\left ( \frac{\sqrt[3]{3}+2}{\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt[3]{3}-2}{\sqrt[3]{2}} \right )^2$
$(a - b)^3 =\left ( \frac{\sqrt[3]{3}+2-\sqrt[3]{3}+2}{\sqrt[3]{2}} \right )^2$
$(a - b)^3 =\left ( \frac{4}{\sqrt[3]{2}} \right )^2$
$(a - b)^3 =\frac{64}{2}=32$

Termo geral do binômio

Usando o desenvolvimento de ( $(x+y)^n$ , para $n\,\epsilon \,\mathbb{N}$ e $x,y\,\epsilon \,\mathbb{R}$ , tem-se:

$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots ++\binom{n}{n}x^{0}y^{n}$

Assim, podemos concluir que o termo geral pode ser determinado por:

$T_{k+1}=\binom{n}{k}x^{n-k}y^n$

com $n,k\,\mathbb{N}, \,0\leq p\leq n\,\text{e}\,x,y \,\epsilon \,\mathbb{R}$

Exemplo

Considere o binômio $(A+B)^{10}$ , determine:

a) o 2º termo.

$T_{1+1}=\binom{10}{1}A^{10-1}\cdot 1B^{1}$

$T_{2}=10A^{10}\cdot B$

b) o 6º termo.

$T_{5+1}=\binom{10}{5}A^{10-5}\cdot 5B^{5}$

$T_{6}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}A^{5}\cdot B^{5}$

$T_{6}=252\cdot A^{5}\cdot B^{5}$

Termo geral do binômio - Outros exemplos

OBS 1: Determinação do termo médio de um binômio.

Qual o valor do termo médio do desenvolvimento de $(2x + 3y)^8$ ?

A posição do termo médio será determinada por $\frac{n}{2}+1$ . Assim, o termo médio será $\frac{8}{2}+1=5^{\circ}$

$T_{4 + 1}=\binom{8}{4}(2x)^{8-4}(3y)^4$

$T_{5}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}(2x)^{4}(3y)^4$

$T_{5}=70\cdot 16x^{4}\cdot 81y^4$

$T_{5}=70\cdot 90720x^{4}\cdot y^4$

OBS 2: Determinação do termo independente de um binômio.
Determine o termo independente de $x$ no desenvolvimento do binômio $\left ( x^2+\frac{1}{x} \right )^9$ .

$T_{k+1}=\binom{9}{k}(x^2)^{9-k}(x^{-1})^{k}$

$T_{k+1}=\binom{9}{k}x^{18-2k}\cdot x^{-k}$

$T_{k+1}=\binom{9}{k}x^{18-3k}$

Para determinar o termo independente, tem-se que $18 - 3k = 0\Rightarrow k = 6$ . Substituindo no termo geral anterior, temos:

$T_7=\binom{9}{7}\cdot x^0=\binom{9}{2}=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}=36$

OBS 3: Determinação do termo xn de um binômio.
No desenvolvimento de $(3a^2-y)^8$ , o coeficiente de $y^5$ é

a) $-70 \cdot 27a^3$ .
b) $-56 \cdot 27a^6$ .
c) $C_8^5\cdot a^3$ .
d) $-56 \cdot a^6$ .

$T_{k+1}=\binom{8}{k}(3a^2)^{8-k}(-y)^5$

Para determinar o termo em $y^5$ , tem-se que $k=5$ . Substituindo no termo geral anterior, temos:

$T_{5+1}=\binom{8}{5}(3a^2)^{8-5}(-y)^5$

$T_{6}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 3!}(3a^2)^{8-5}(-y)^5$

$T_{6}=-\frac{8\cdot 7\cdot 6}{ 3\cdot 2\cdot 1}(3a^2)^{3}(y)^5$

$T_6=-56 \cdot 27a^6$

O coeficiente de $y^5$ é $-56 \cdot 27a^6$
Letra b

OBS 4: Soma dos coeficientes de um binômio
Para obter a soma dos coeficientes de $(x + y)^n$ , basta fazer cada incógnita igual a unidade.

Exemplos
a) A soma dos coeficientes de $(x + y)^6$ é $S_c = (1 + 1)^6 = 2^6 = 64$ .
b) A soma dos coeficientes de $(2x -3)^{64}$ é $S_c = (2 - 3)^{65 }= (- 1)^{65 }= - 1$ .

Aplicação
A soma dos coeficientes do desenvolvimento de $(3x + 2y)^{10}$ é:

a) $2^{10}$
b) 0
c) $5^{10}$
d) $3^{10}$
e) 1

$S_c = (3\cdot 1 + 2\cdot .1)^{10 }= 5^{10}$
Letra a