Resumo de matematica: Estudo dos Logaritmos I

DEFINIÇÃO

Sendo a e b números reais e positivos, com $b \neq 1$ , chama-se de logaritmo de a na base b o expoente x, ao qual se deve elevar a base b, de modo que a potência $b^x$ seja igual à base a.

$\large log_{b}a=x\Leftrightarrow {b}^{x} =a$

Na expressão $log_ba=x$ , temos:

a: logaritmando;
b: base;
x: logaritmo.

Exemplos

a) $log_{2}16=4$ , pois $2^4 = 16$ ;

b) $log_{3}27=3$ , pois $3^3 = 27$ .

Atenção

A condição de existência para que esteja definido

$log_ba=x$ é $a > 0$ e $0 < b \neq 1$ .

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Dada a definição de logaritmo e suas condições de existência, temos as seguintes consequências da definição:

O logaritmo de 1 em qualquer base b é igual a 0;

$log_b1=0$

O logaritmo da base, para qualquer valor, é igual a 1;

$log_bb=1$

A potência de base b e expoente $log_ba$ é igual à a;

$b^{log_ba}=a$

O logaritmo da potência $b^n$ na base b é igual a n;

$log_bb=n$

Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos são iguais.

$log_ba= log_bc\Leftrightarrow a=c$

SISTEMAS DE LOGARITMOS

O conjunto formado por todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base $b (0 < b \neq 1)$ é chamado sistema de logaritmos na base b.
Existem infinitos sistemas de logaritmos, mas os mais utilizados são os decimais e neperianos.

Sistema de logaritmos decimais

Esse sistema foi desenvolvido pelo matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1630), o primeiro a destacar as vantagens dos logaritmos de base 10 como instrumento auxiliar dos cálculos numéricos.

$log_{10}a=log\ a, a>0$

Sistema de logaritmos naturais (ou neperianos)

O responsável pelo desenvolvimento desse sistema foi o matemático escocês Jonh Napier (1550 – 1617) de onde deriva o nome do sistema. Napier foi o autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos.

$log_ea=ln\ a, a>0$

O número irracional e

Quem, efetivamente, calculou o número e foi Leonhard Euler. Dizem que a designação decorre da inicial de seu sobrenome, mas também existe a versão de que o e se deve à inicial de “exponencial”.
O número e é conhecido como número neperiano, uma referência à Napier, e tem o valor de 2,7182818284590....

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

As propriedades logarítmicas foram desenvolvidas com o intuito de tornar os cálculos envolvendo logaritmos mais fáceis.

Logaritmo de um produto

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base;

$log_b\,(a\cdot c)=log_b\,a+log_b\,c$

Logaritmo de quociente

O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base;

$log_b\,(a/c)=log_b\,a-log_b\,c$

Logaritmo de uma potência

O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

$log_b\,a^n=n\cdot log_b\,a$

Exemplos
1) Usando as propriedades de logaritmos, desenvolva o valor de $log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}$ , para $y\neq 0$ .

$log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}=log_5\,\sqrt[3]{x^2}-log_5\,y$

$log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}=log_5\,x^{\frac{2}{3}}-log_5\,y$
$log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}=\frac{2}{3}log_5\,x-log_5\,y$

2) Usando as propriedades de logaritmos, simplifique o valor de $2log_2\, a + 3 - 3log_2\, b$ .

$2\cdot log_2\, a + 3 - 3log_2\, b = log_2 \,a^2 + 3\cdot log_2\, 2 - log_2\, b^3$
$2\cdot log_2\, a + 3 - 3log_2\, b = log_2 \,a^2 + log_2\, 2^3 - log_2\, b^3$
$2\cdot log_2\, a + 3 - 3log_2\, b = log_2 \,\left ( \frac{8a^2}{b^3} \right )$

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

As propriedades logarítmicas foram desenvolvidas com o intuito de tornar os cálculos envolvendo logaritmos mais fáceis.

Nome	Regra	Simbólica
Logaritmo de um produto	O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base;	$log_b\,(a\cdot c)=log_b\,a+log_b\,c$
Logaritmo de quociente	O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base;	$log_b\,(a/c)=log_b\,a-log_b\,c$
Logaritmo de uma potência	O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.	$log_b\,a^n=n\cdot log_b\,a$

Exemplos
Sendo $log\, 2 = 0,30$ e $log\, 3 = 0,47$ , calcule o valor de:

a) $log\, 0,6 = log\,\frac{6}{10}$
$= log\,(2\cdot 3)-log\,10$
$= log\,(2)+log\,(3)-log\,10$
$=0,30 + 0,47 - 1$
$=- 0,23$

b) $log\, 2500 = log\, (5^2 \cdot 10^2)$
$=log 5^2 + log 10^2$
$=2log 5 + 2$
$=2\cdot (1 - log 2) + 2$
$=2\cdot (1 - 0,30) + 2$
$=2\cdot 0,70 + 2$
$=3,4$