Resumo de matematica: Trigonometria em um triângulo retângulo

Trigonometria em um triângulo retângulo

Por: Aline Ribeiro

1. Razões trigonométricas em um triângulo retângulo: São razões que relacionam as medidas dos lados de um triângulo tendo sempre com

referência a medida de um ângulo.

Existem três principais razões trigonométricas:

1.1. Definição 1: O seno é definido pela seguinte razão:

$sen\left ( \Theta \right )=\frac{Cateto\ oposto}{Hipotenusa}$

1.2. Definição 2: O cosseno é definido pela seguinte razão:

$cos\left ( \Theta \right )=\frac{Cateto\ adjacente}{Hipotenusa}$

1.3. Definição 3: A tangente é definido pela seguinte razão:

$tg\left ( \Theta \right )=\frac{sen(\Theta )}{cos(\Theta )}=\frac{Cateto\ oposto}{Cateto\ adjacente}$

2. Ângulos notáveis: Eles são chamados notáveis, pois estão presentes em figuras elementares, como o quadrado e o triângulo equilátero.

Consequentemente a obtenção dos valores do seno, cosseno e da tangente desses ângulos são bem simples.

- Ângulo de 30º: Considere um triângulo equilátero $ABC$ . Sabemos pelos módulos anteriores que todos os ângulos desse triângulo medem 60º e que a altura mede $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ e é bissetriz do ângulo.

Vamos considerar o triângulo $ADC$ para calcular os valores do seno, cosseno e da tangente de 30º:

$sen\left (30^{\circ} \right )=\frac{Cateto\ oposto}{Hipotenusa}=\frac{\frac{l}{2}}{l}$

$sen(30^{\circ})=\frac{l}{2}\cdot \frac{1}{l}$

$sen\left (30^{\circ} \right )=\frac{1}{2}$

$cos\left ( 30^{\circ} \right )=\frac{Cateto\ adjacente}{Hipotenusa}=\frac{\frac{l\sqrt{3}}{2}}{l}$

$cos(30^{\circ})=\frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{l}$

$cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg\left ( 30 \right )=\frac{Cateto\ oposto}{Cateto\ adjacente}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{l\sqrt{3}}{2}}$

$tg\left ( 30 \right )=\frac{l}{2}\cdot \frac{2}{l\sqrt{3}}$

$tg\left ( 30 \right )=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

- Ângulo de 45º: Considere um quadrado $ABCD$ . Sabemos pelos módulos anteriores que a diagonal de um quadrado mede $l\sqrt{2}$ e é bissetriz do ângulo.

Vamos considerar o triângulo $ADB$ para calcular os valores do seno, cosseno e da tangente de 45º:

$sen\left (45^{\circ} \right )=\frac{Cateto\ oposto}{Hipotenusa}=\frac{l}{l\sqrt{2}}$

$sen(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$sen\left (45^{\circ} \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\left ( 45^{\circ} \right )=\frac{Cateto\ adjacente}{Hipotenusa}=\frac{l}{l\sqrt{2}}$

$cos(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$cos(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg\left ( 30 \right )=\frac{Cateto\ oposto}{Cateto\ adjacente}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{l\sqrt{3}}{2}}$

$tg\left ( 30 \right )=\frac{l}{2}\cdot \frac{2}{l\sqrt{3}}$

$tg\left ( 30 \right )=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

- Ângulo de 60º: Considere um triângulo equilátero ABC. Sabemos pelos módulos anteriores que todos os ângulos desse triângulo medem 60º e

que a altura mede $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ e é bissetriz do ângulo.

Vamos considerar o triângulo $ADC$ para calcular os valores do seno, cosseno e da tangente de 60º:

$sen\left (60^{\circ} \right )=\frac{Cateto\ oposto}{Hipotenusa}=\frac{\frac{l\sqrt{3}}{2}}{l}$

$sen(60^{\circ})=\frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{l}$

$sen\left (60^{\circ} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\left ( 60^{\circ} \right )=\frac{Cateto\ adjacente}{Hipotenusa}=\frac{\frac{l}{2}}{l}$

$cos(60^{\circ})=\frac{l}{2}\cdot \frac{1}{l}$

$cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$

$tg\left ( 60 \right )=\frac{Cateto\ oposto}{Cateto\ adjacente}=\frac{\frac{l\sqrt{3}}{2}}{\frac{l}{2}}$

$tg\left ( 60 \right )=\frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{l}$

$tg\left ( 60 \right )=\sqrt{3}$

3. Circunferência trigonométrico: É uma circunferência com centro na origem do plano cartesiano e raio com medida 1.

Desenhando um triângulo retângulo com um vértice na origem e outro na circunferência, temos:

Vamos calcular os valores do seno e do cosseno de :

$cos(\alpha )=\frac{x}{1}=x$ $sen(\alpha )=\frac{y}{1}=y$

Assim concluímos que as coordenadas $x$ de um ponto representam o valor do $cos(\alpha )$ e as coordenadas $y$ de um ponto representam o $sen(\alpha )$ .

Em outras palavras, o $eixo\ x$ representa os valores do cosseno e o $eixo\ y$ representa os valores do seno.

Aprofundando um pouco mais, podemos dizer que ângulos suplementares têm o mesmo valor do seno e valores opostos do cosseno, pois a

coordenada y no plano cartesiano será a mesma e a coordenada x será o oposto, como mostra a figura:

Estes ângulos estão distribuídos de maneira simétrica no círculo trigonométrico em relação aos eixos. E esse estudo pode ser feito com qualquer ângulo:

Com a circunferência trigonométrica podemos definir o valor do seno e do cosseno de qualquer ângulo, como por exemplo do ângulo de 90º que não

era possível definir com o triângulo retângulo.

As coordenadas do ponto situado no 90º será (0,1), então:

(0,1) = (cos (90º), sen (90º))

cos (90º) = 0

sen (90º) = 1

Observação: Lembre-se que a tangente de um ângulo sempre pode ser calculada como:

$tg\left (\Theta \right ) =\frac{sen\left (\Theta \right ) }{cos\left (\Theta \right )}$

4. Relação fundamental da trigonometria: Essa é a relação mais importante e mais usada na trigonometria. Considere um triângulo qualquer com um

vértice na origem do plano cartesiano e outro na circunferência trigonométrica.

Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo temos:

$1^{2}=y^{2}+x^{2}$

$1^{2}=\left (sen\ \alpha \right )^{2}+\left ( cos\ \alpha \right )^{2}$

$1=\left (sen\ \alpha \right )^{2}+\left ( cos\ \alpha \right )^{2}$

5. Exemplos:

Exemplo 1: (Unesp) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se AB= 2 m e

BCA = 30º, então a medida da extensão de cada degrau é:

Como a extensão de todos os degraus é a mesma, se calcularmos o valor de BC basta dividi-lo pelo número de degraus que encontraremos a extensão

de cada um deles. Para calcular a medida de BC vamos utilizar a tangente do ângulo $B\widehat{C}A$ :

$tg\ 30^{\circ}=\frac{AB}{BC}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{BC}$

$BC=\frac{6}{\sqrt{3}}$

$BC=2\sqrt{3}$

Como a escada tem 6 degraus, a extensão de cada um deles é:

$\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Exemplo 2: Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º. Se ele se afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo

sob ângulo de 30º. Qual a altura do edifício ?

Antes de começarmos vamos ilustrar a situação: