Resumo de matematica: Sistemas de Equações Lineares I

Conceitos Iniciais

Os sistemas de equações podem ser classificados em:

Sistema Possível Determinado (SPD): possui apenas uma solução;
Sistema Possível Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções;
Sistema Impossível (SI): não possui solução.

Por exemplo, o sistema $\left\{\begin{matrix} x+2y=3\\ 2x-y=1 \end{matrix}\right.$ é possível determinado, pois possui apenas uma solução que é o par ordenado (1, 1). Nenhum outro par ordenado é solução do sistema. Existem outros pares que são solução para uma equação, como (3, 0) que é solução da primeira, mas não é para a segunda, assim como o par (0, -1) é solução para a segunda equação, mas não é equação para a primeira.

Regra de Cramer - ordem 2

Podemos resolver um sistema de equações utilizando a Regra de Cramer. Para isto, é necessário que o sistema seja “quadrado”, ou seja, o número de incógnitas seja igual ao número de equações. O primeiro passo é calcular o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas. Por exemplo, no sistema $\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ 2x+y=5 \end{matrix}\right.$ esta matriz é $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2& 1 \end{bmatrix}$ , cujo determinante é $\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2& 1 \end{vmatrix}=-1$ , e o chamamos de determinante principal.

O segundo passo é encontrarmos os determinantes secundários, nos quais substituiremos a coluna dos coeficientes de determinada incógnita pelos termos independentes. No caso do determinante secundário relativo a “x”, o determinante é $D_x=\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5& 1 \end{vmatrix}=-2$ e o determinante secundário relativo a “y” é $D_y=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2& 5 \end{vmatrix}=-1$ .
O último passo é calcular os valores das incógnitas:

$x=\frac{D_x}{D_p}=\frac{-2}{-1}=2$ e $y=\frac{D_y}{D_p}=\frac{-1}{-1}=1$

Regra de Cramer - ordem 3

A Regra de Cramer é uma excelente ferramenta para verificarmos se um sistema possui exatamente uma solução ou não. Por exemplo, o sistema $\left\{\begin{matrix} x+2y+z=4\\ 2x-y+3z=5 \\ 3x+y+2z=6 \end{matrix}\right.$ apresenta uma única solução? Vamos analisar.
Usando a Regra de Cramer, temos, calculando o determinante principal:

$D_p=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & -1\\ 3 & 1 \end{matrix}=-2+18+2+3-3-8=10$

Como o resultado é diferente de zero, então este sistema possui exatamente uma solução. E qual é essa solução? Podemos continuar utilizando a Regra de Cramer para determinar esta solução ou usar ou método como o método da substituição ou escalonamento.

Escalonamento

O escalonamento de sistemas lineares é uma importante ferramenta para a solução destes. Por exemplo, para resolvermos o sistema $\left\{\begin{matrix} x+2y+z=4\\ 2x-y+3z=5 \\ 3x+y+2z=6 \end{matrix}\right.$ pelo método do escalonamento, devemos:
1º) usar uma das equações (neste caso usaremos a primeira) para eliminar uma das incógnitas nas demais equações (neste caso a incógnita “x”). Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por (-2) e somar na segunda equação o resultado, e vamos multiplicar a primeira equação por (-3) e somar o resultado na terceira equação. Ficamos com um novo sistema:

$\left\{\begin{matrix} x+2y+z=4\\ -5y+z=-4 \\ -5y-z=-6 \end{matrix}\right.$

2º) repetir o processo para as duas equações modificadas (neste caso a segunda e terceira). Multiplicando a segunda por (-1) e somando o resultado na terceira, ficamos com:

$\left\{\begin{matrix} x+2y+z=4\\ -5y+z=-4 \\ -2z=-2 \end{matrix}\right.$

3º) Resolver cada equação. No nosso caso, resolveremos a última, encontrando o valor de “z”, depois passaremos para a segunda equação e, substituindo o valor de “z”, encontramos “y”, e por último substituímos “z” e “y” na primeira e encontramos x.