Resumo de matematica: Sequências - PAG e PGA - aprofundamento

Sequências - PAG e PGA - Progressão Aritmética

Sabemos que a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética (PA) é

$S_n=\frac{\left ( a_1+a_n \right )\cdot n}{2}$

e também que a fórmula do termo geral da PA é

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$ .

Muitos problemas, querem saber a soma de uma quantidade n de termos da PA, mas não sabemos qual o enésimo termo. Com isso, temos que utilizar primeiro a fórmula do termo geral, para depois determinarmos a soma. Outra maneira de encontrarmos essa soma, e de forma mais rápida, é generalizando esta situação. Vamos substituir an na fórmula da soma dos n primeiros termos, para obtermos esta generalização:

$S_n=\frac{\left ( a_1+a_n \right )\cdot n}{2}$
$S_n=\frac{\left ( a_1+a_1+(n-1)\cdot r \right )\cdot n}{2}$
$S_n=\frac{\left ( 2a_1+n\cdot r- r \right )\cdot n}{2}$
$S_n=\frac{n^2r+2na_1-nr}{2}$ .

Sequências - PAG e PGA - Progressão Geométrica

Sabemos que o produto dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica (PG) é

$P_n=a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$ .

Vamos demonstrar essa fórmula usando o Princípio da Indução Finita (PIF):
1º Passo: Vamos mostrar que essa fórmula é válida para $n=1$ :

$P_1=a_1^1\cdot q^{\frac{1(1-1)}{2}}=a_1$ .

Pronto! De fato, vale para o primeiro termo;
2º Passo: Vamos supor que essa fórmula seja válida para algum $n=k$ :

$P_k=a_1^k\cdot q^{\frac{k(k-1)}{2}}$ .

3º Passo: Vamos mostrar que, se a fórmula é válida para $n=k$ , então é válida também para $n=k+1$ :

$P_k=a_1^k\cdot q^{\frac{k(k-1)}{2}}$
$P_k\cdot a_{k+1}=a_{k+1}\cdot a_1^k\cdot q^{\frac{k(k-1)}{2}}$
$P_{k+1}=a^k_1\cdot q^{\frac{k(k-1)}{2}}\cdot a_1\cdot q^k$
$P_{k+1}=a^{k+1}_1\cdot q^{\frac{k(k-1)}{2}+k}$
$P_{k+1}=a^{k+1}_1\cdot q^{\frac{k(k-1)+2k}{2}}$
$P_{k+1}=a^{k+1}_1\cdot q^{\frac{(k+1)k}{2}}$ .

Com isso, mostramos que a fórmula é válida para qualquer $n\,\epsilon\, \mathbb{N}^*$ .

PA's de ordens superiores - PA e PG - Exercícios Resolvidos

Nos problemas sobre sequências numéricas é muito comum existir progressões aritméticas juntamente com progressões geométricas. Vamos ver um exemplo:
Seja uma sequência numérica com 3 termos, com o segundo termo diferente de 0, que é progressão aritmética e progressão geométrica ao mesmo tempo. Qual a razão dessa progressão geométrica?
Solução: como os 3 termos estão em PA, podemos escrevê-los como $(x-r,\, x,\, x+r )$ e como estão em PG, também são $\left ( \frac{x}{q}, \,x, \,xq \right )$ . Com isso, temos:

$\left\{\begin{matrix} x-r=\frac{x}{q}\\ x+r=xq \end{matrix}\right.$

Somando as duas equações, e sabendo que $x\neq 0$ , temos:

$2x=\frac{x}{q}+xq$
$2=\frac{1}{q}+q$
$q^2-2q+1=0$
$q=1$ .

Portanto, a razão da PG é 1.

PA's de ordens superiores - PA de Segunda Ordem

A Progressão Aritmética de 2ª ordem é uma sequência numérica na qual a sequência formada pela diferença entre termos consecutivos é uma Progressão Aritmética, por exemplo, a sequência $(1, 3, 7, 13, 21, ...)$ é uma PA de 2ª ordem, pois, a diferença entre o 2º e 1º termo é 2, a diferença entre o 3º e 2º termo é 4, a diferença entre o 4º e 3º é 6, ou seja, essas diferenças formam a sequência $(2, 4, 6, 8, ...)$ , que é uma Progressão Aritmética de razão igual a 2.
Seja uma PA de 2ª ordem $\left (b_1,b_2, b_3,...,b_n,...,\right )$ na qual as diferenças entre dois termos consecutivos formem a PA $\left (a_1,a_2, a_3,...,a_n,...,\right )$ então o termo geral $b_n$ , pode ser encontrado pela fórmula

$b_n=b_1+S'_{n-1}$ ,

na qual $S'_{n-1}$ é a soma dos $(n-1)$ primeiros termos da PA $\left (a_1,a_2, a_3,...,a_n,...,\right )$

PA's de ordens superiores - PA de Segunda Ordem - Exercícios Resolvidos

Sabemos que a fórmula do termo geral de uma PA de 2ª ordem $\left (b_1,b_2, b_3,...,b_n,...,\right )$ na qual as diferenças entre dois termos consecutivos formam a PA $\left (a_1,a_2, a_3,...,a_n,...,\right )$ é

$b_n=b_1+S'_{n-1}$ ,

sendo Sn-1' a soma dos (n-1) primeiros termos da PA $\left (a_1,a_2, a_3,...,a_n,...,\right )$
Vamos usar o Princípio da Indução Finita para provar a validade desta fórmula para qualquer n ∈ *:
1º passo: Vamos mostrar que a fórmula vale para $n=1$ :

$b_1=b_1+S'_{1-1}=b_1+S'_0=b_1+0=b_1$ .

Pronto! Vale para $n=1$ ;
2º passo: Vamos supor que a fórmula vale para $n=k$ :

$b_k=b_1+S'_{k-1}$ .

3º passo: Vamos mostrar que, se vale para n=k, então vale para $n=k+1$ :

$b_k=b_1+S'_{k-1}$

$b_k+a_k=b_1+S'_{k-1}+a_k$
$b_{k+1}=b_1+S'_{k}$
$b_{k+1}=b_1+S'_{(k+1)-1}$ .

Com isso, mostramos, que, se a fórmula é válida para o 1º termo e, valendo para $n=k$ , vale também para $n=k+1$ , vale para qualquer $n\,\epsilon \,\mathbb{N}^*$ .