Resumo de matematica: Probabilidade III

Teorema da multiplicação das probabilidades

TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO

Uma consequência importante da definição formal de probabilidade condicional é a seguinte:

$P(A\cap B)=P(A |B)\cdot P(B)$

Demonstração:

$P(A |B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\frac{n(B)}{n(U)}}\Leftrightarrow P(A |B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Rightarrow P(A\cap B)=P(A |B)\cdot P(B)$

$P(A\cap B)=P(A |B)\cdot P(B)$

Demonstração:

$P(B |A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\frac{n(A)}{n(U)}}\Leftrightarrow P(B |A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\Rightarrow P(A\cap B)=P(B |A)\cdot P(A)$

Conclusão
A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos $\left ( P(A\cap B) \right )$ é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.

INDEPENDÊNCIA DE DOIS EVENTOS

Dados dois eventos $A$ e $B$ de um espaço amostral $\Omega$ , diremos que $A$ independe de $B$ se:

$P(A|B)=P(A)$ isto é, $A$ independe de $B$ se a ocorrência de $B$ não afeta a probabilidade de $A$ . Observemos que, se A independe de $B(P(A)> 0)$ , então $B$ independe de $A$ , pois:

$P(B|A)=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(A)}=P(B)$

Em resumo, se $A$ independe de $B$ , então $B$ independe de $A$ e além disso:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(A)\cdot P(B)$

Isso sugere a definição:

Dois eventos $A$ e $B$ são chamados independentes se $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ .

Exemplo: (PUC RIO) jogamos uma moeda comum e um dado comum. a probabilidade de sair um número par e a face coroa é:

a) 0,1
b) 0,2
c) 0,25
d) 0,33
e) 0,5

Resolução: No dado temos que a probabilidade $P(dado)=\frac{3}{6}$ e na moeda, $P(moeda)=\frac{1}{2}$ . assim, a probabilidade dos dois eventos acontecerem simultaneamente será $P(total)=\frac{3}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0,25$ .

Teorema da multiplicação das probabilidades - Outros exemplos

TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO

Uma consequência importante da definição formal de probabilidade condicional é a seguinte:

$P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$

$P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)$

INDEPENDÊNCIA DE DOIS EVENTOS

Dois eventos $A$ e $B$ são chamados independentes se $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ .

OBS 1: Na probabilidade da multiplicação é necessário analisar se os elementos serão mudados de posição diante das escolhas. Em caso afirmativo, isso poderá ser feito utilizando uma permutação.

OBS 2: Em caso de retiradas consecutivas de objetos do espaço amostral é necessário verificar que o mesmo está diminuindo quando for sem reposição e com reposição quando o objeto retirado tiver a possibilidade de retorno.

OBS 3: A estratégia de montagem de tabela ajuda muito a tornar organizado os grupos e permite uma análise muito mais eficiente.

Lei Binomial das probabilidades

Consideremos então uma sequência de $n$ etapas. Seja $p$ a probabilidade de sucesso em cada etapa e q a probabilidade de fracasso. Queremos calcular a probabilidade $P_K$ , da ocorrência de exatamente $K$ sucessos, nas etapas. É evidente que $K\,\epsilon \,\left \{ 0,1,2,...,n \right \}$ .

O evento “ocorrem exatamente $K$ sucessos nas $n$ etapas” é formado por todas as ênuplas ordenadas em que existem $K$ sucessos $(S)$ e $n-K$ fracassos $(F)$ .
O número de ênuplas ordenadas nessas condições é:

$P_K=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}$

Exemplo: Uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha?

$P_3=\binom{5}{3}\cdot \left (\frac{2}{5} \right )^3\cdot \left (\frac{3}{5} \right )^2=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot \frac{8}{125}\cdot \frac{9}{25}=\frac{720}{3175}$

OBS 1: O uso da propriedade dos eventos complementares nesses problemas se torna mais comuns. Assim, dado dois eventos $E$ e $\overline{E}$ eventos complementares de probabilidades $P(E)$ e $P(\overline{E})$ , então $P(E)+P(\overline{E})=1$ .

OBS 2: Alguns problemas sinalizam a possibilidade de quantidade mínima ou quantidade máxima de uma característica. As probabilidades com características semelhantes serão adicionadas.

Lei Binomial das probabilidades - Outros exemplos

$P_K=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}$

OBS 1: Considerando a probabilidade de eventos equiprováveis, tem-se que seus valores são iguais. Caso contrário, deve-se utilizar a propriedade dos eventos complementares.

OBS 2: Propriedade importante de números binomiais iguais

$\binom{n}{p}=\binom{n}{q}\Rightarrow p=q\,ou\,p+q=n$