Resumo de matematica: Teorema da bissetriz externa

Teorema da bissetriz externa

Por: Aline Ribeiro

Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo externo divide o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.

$\frac{m}{n}=\frac{c}{b}$

Exemplo 1: Em um triângulo ABC, as bissetrizes interna e externa traçadas a partir do vértice B encontram o lado oposto (ou seu prolongamento) nos

pontos M e N, respectivamente. Se AC = 21, AB = 16 e AN= 21, calcule os comprimentos dos segmentos BC e AM.

Aplicando o teorema da bissetriz externa temos:

$\frac{21+21}{21}=\frac{x}{16}$

$\frac{42}{21}=\frac{x}{16}$

$2=\frac{x}{16}$

$x=32$

Então $BC=32$ .

Aplicando o teorema da bissetriz interna temos:

$\frac{21-y}{y}=\frac{x}{16}$

Como x = 32, então:

$\frac{21-y}{y}=\frac{32}{16}$

$\frac{21-y}{y}=2$

$21-y=2y$

$21=2y+y$

$21=3y$

$7=y$

Exemplo 2: Sejam D e E respectivamente os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo Â do triângulo ABC. Sabendo que AB=4, AC=2 e BC=3,

calcule o comprimento do raio do círculo circunscrito ao triângulo DAE.

Pelo módulo de ângulos, sabemos que o ângulo mostrado na figura acima é 90º, portanto DE será o diâmetro da circunferência. Como queremos determinar

a medida do raio dessa circunferência estamos interessados em calcular a metade do comprimento de DE. Para isso temos:

Aplicando o teorema da bissetriz externa temos:

$\frac{3+x}{x}=\frac{4}{2}$

$\frac{3+x}{x}=2$

$3+x=2x$

$3=2x-x$

$3=x$

Então $CE=3$ .

Aplicando o teorema da bissetriz interna temos:

$\frac{z}{4}=\frac{y}{2}$

$2z=4y$

$z=2y$

Além disso, sabemos que z + y = 3, substituindo z = 2y, temos:

$z+y=3$

$2y+y=3$

$3y=3$

$y=1$

Então $CD=1$ .

Por fim, temos que o raio da circunferência será:

$\frac{DE}{2}=\frac{DC+CE}{2}=\frac{1+3}{2}=2$