Resumo de matematica: Matrizes e Determinantes (Determinantes) I

Conceitos Iniciais e Ordens 1, 2, 3

O determinante de ordem 2, ou seja, de uma matriz com 2 linhas e 2 colunas, é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Por exemplo

$\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 6 \end{vmatrix}=2\cdot6-5\cdot3=12-15=-3$

O determinante de ordem 3 é um pouco mais complicado. Deve-se, inicialmente, dobrar as duas primeiras linhas logo abaixo da matriz ou as duas primeiras colunas logo à direita da matriz. Após isso, existirão 3 diagonais principais, cada uma com 3 elementos, e 3 diagonais secundárias, cada uma com 3 elementos. O determinante será a soma dos produtos de cada diagonal, sendo que os sinais dos produtos das diagonais secundárias devem ser invertidos. Por exemplo

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4& 5 &6 \\ 7& 8 & 9 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\ 4& 5\\ 7& 8 \end{matrix}=1\cdot5\cdot9+2\cdot6\cdot7+3\cdot4\cdot8-3\cdot5\cdot7-1\cdot6\cdot8-2\cdot4\cdot9=$
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4& 5 &6 \\ 7& 8 & 9 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\ 4& 5\\ 7& 8 \end{matrix}=45+84+96-105-48-72=0$

Esse método de resolução de determinantes de ordem 3 é chamado de Regra de Sarrus.

Ordens 2 e 3 - Exercícios Resolvidos

Os problemas que envolvem determinantes normalmente vêm associados a outros assuntos como função, polinômio, logaritmo, exponencial, trigonometria, equações. Por exemplo, como resolver a inequação

$\begin{vmatrix} x & 0 & 1\\ 0 & x & 3 \\ -1& 0 & 1 \end{vmatrix}<0$ ?

Percebe-se que é uma inequação, mas um dos termos é um determinante. Sendo assim, a solução é:

Resolvendo o determinante, pela Regra de Sarrus, temos:

$x^2+x<0$
$x(x+1)<0$

A expressão no 1º membro da inequação tem 0 e -1 como raízes e, consequente, a solução desta inequação do 2º grau é $S=\{-1,0\}$ .

Teorema de Laplace

O cálculo de determinantes de matrizes de ordem 2 e 3 é feito por métodos simples. Mas se a ordem for superior a 3, deve-se usar métodos mais complicados. Um deles é o Teorema de Laplace. Para a utilização deste método, é necessário o conhecimento de alguns conceitos: Menor Complementar do elemento de posição $(i, j)$ , que é o determinante calculado a partir da exclusão da linha e coluna deste elemento; Cofator do elemento de posição $(i, j)$ , que é o produto do Menor Complementar por $(-1)^{i+j}$ .

Agora, para o cálculo do determinante pelo Teorema de Laplace, basta fazer a escolha de uma linha ou coluna e fazer a soma do produto de cada elemento desta linha ou coluna pelo seu cofator. Como este método exige o cálculo de vários determinantes, é interessante que a linha ou coluna escolhida tenha o máximo de zeros, pois dispensa o cálculo do determinante relativo ao elemento zero, pois o produto será zero mesmo.

Regra de Chió

A Regra de Chió é utilizada para o cálculo de determinantes mais complicados como determinantes de matrizes com ordem superior a 3. Esta regra consiste em reduzir a ordem da matriz, mas sem alterar seu determinante, por exemplo, no caso de uma matriz de ordem 6, usando a Regra de Chió uma vez, a ordem é reduzida para 5, usando mais duas vezes consecutivas, a ordem é reduzida para 3 e, para ordem igual a 3, basta usar a Regra de Sarrus para calcular o determinante.

Para utilizar a regra, basta escolher um elemento igual a 1 na matriz e destacar a linha e a coluna deste elemento. Dos elementos que não foram destacados, subtrai-se o produto dos “representantes”, deste elemento, na linha e coluna destacadas. Após isso, multiplica-se o determinante encontrado por $(-1)^{i+j}$ , sendo i e j as posições, respectivamente, da linha e coluna do elemento 1 escolhido. Caso a matriz não possua elemento igual a 1, deve-se utilizar o Teorema de Jacobi para obtê-lo.