Resumo de matematica: Números Binomiais II

$\rightarrow$

$\rightarrow$

$\rightarrow$

$\rightarrow$

$\rightarrow$

Triângulo Aritmético

O Triângulo de Pascal é formado pelos números binomiais organizados em linhas e colunas, numa disposição triangular, de tal forma que em cada linha fiquem os de mesmo número de elementos (mesmo numerador) e em cada coluna os de mesma taxa (denominador).

$-$	$-$	$C_o$	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$	$...$	$C_n$
$L_0$	$\rightarrow$	$\binom{0}{0}$
$L_1$	$\rightarrow$	$\binom{1}{0}$	$\binom{1}{1}$
$L_2$	$\rightarrow$	$\binom{2}{0}$	$\binom{2}{1}$	$\binom{2}{2}$
$L_3$	$\rightarrow$	$\binom{3}{0}$	$\binom{3}{1}$	$\binom{3}{2}$	$\binom{3}{3}$
$L_4$	$\rightarrow$	$\binom{4}{0}$	$\binom{4}{1}$	$\binom{4}{2}$	$\binom{4}{3}$	$\binom{4}{4}$
$\vdots$	$\ddots$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$L_n$	$\rightarrow$	$\binom{n}{0}$	$\binom{n}{1}$	$\binom{n}{2}$	$\binom{n}{3}$	$\binom{n}{4}$	$...$	$\binom{n}{n}$

Escrevendo o Triângulo Aritmético como combinações simples, temos:

$-$	$-$	$C_o$	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$	$...$	$C_n$
$L_0$	$\rightarrow$	$C_0^0$
$L_1$	$\rightarrow$	$C_1^0$	$C_1^1$
$L_2$	$\rightarrow$	$C_2^0$	$C_2^1$	$C_2^2$
$L_3$	$\rightarrow$	$C_3^0$	$C_3^1$	$C_3^2$	$C_3^3$
$L_4$	$\rightarrow$	$C_4^0$	$C_4^1$	$C_4^2$	$C_4^3$	$C_4^4$
$\vdots$	$\ddots$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$L_n$	$\rightarrow$	$C_n^0$	$C_n^1$	$C_n^2$	$C_n^3$	$C_n^4$	$\cdots$	$C_n^n$

Desenvolvendo os números binomiais e substituindo por seus valores, obtemos:

$-$	$-$	$C_o$	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$	$...$
$L_0$	$\rightarrow$	1
$L_1$	$\rightarrow$	1	1
$L_2$	$\rightarrow$	1	2	1
$L_3$	$\rightarrow$	1	3	3	1
$L_4$	$\rightarrow$	1	4	6	4	1
$\vdots$	$\ddots$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

LEMBRAR

$\binom{n}{0}=1\,\forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{N}$
$\binom{n}{1}=n\,\forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{N}^*$
$\binom{n}{n}=1\,\forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{N}$
$\binom{n}{p}=\binom{n}{q}\Rightarrow p=q\, \text{ou}\,p+q=n$

Propriedades do Triângulo I

$-$	$-$	$C_o$	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$	$...$	$C_n$
$L_0$	$\rightarrow$	$\binom{0}{0}$
$L_1$	$\rightarrow$	$\binom{1}{0}$	$\binom{1}{1}$
$L_2$	$\rightarrow$	$\binom{2}{0}$	$\binom{2}{1}$	$\binom{2}{2}$
$L_3$	$\rightarrow$	$\binom{3}{0}$	$\binom{3}{1}$	$\binom{3}{2}$	$\binom{3}{3}$
$L_4$	$\rightarrow$	$\binom{4}{0}$	$\binom{4}{1}$	$\binom{4}{2}$	$\binom{4}{3}$	$\binom{4}{4}$
$\vdots$	$\ddots$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$L_n$	$\rightarrow$	$\binom{n}{0}$	$\binom{n}{1}$	$\binom{n}{2}$	$\binom{n}{3}$	$\binom{n}{4}$	$...$	$\binom{n}{n}$

Propriedade 1
O 1º e o último termos de qualquer linha no Triângulo Aritmético será sempre igual a 1.

Propriedade 2
A quantidade de elementos de cada linha n no Triângulo Aritmético será sempre igual a n + 1.

Propriedade 3
Em cada linha, os números equidistantes dos extremos são iguais e a soma de seus denominadores é igual ao número da linha.

Propriedade 4
A soma de dois números binomiais consecutivos de uma mesma linha será igual ao número binomial da linha seguinte mantendo o valor do maior denominador. (Relação de Stifel)

Propriedades do Triângulo II

$-$	$-$	$C_o$	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$	$...$	$C_n$
$L_0$	$\rightarrow$	$\binom{0}{0}$
$L_1$	$\rightarrow$	$\binom{1}{0}$	$\binom{1}{1}$
$L_2$	$\rightarrow$	$\binom{2}{0}$	$\binom{2}{1}$	$\binom{2}{2}$
$L_3$	$\rightarrow$	$\binom{3}{0}$	$\binom{3}{1}$	$\binom{3}{2}$	$\binom{3}{3}$
$L_4$	$\rightarrow$	$\binom{4}{0}$	$\binom{4}{1}$	$\binom{4}{2}$	$\binom{4}{3}$	$\binom{4}{4}$
$\vdots$	$\ddots$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$L_n$	$\rightarrow$	$\binom{n}{0}$	$\binom{n}{1}$	$\binom{n}{2}$	$\binom{n}{3}$	$\binom{n}{4}$	$...$	$\binom{n}{n}$

Propriedade 5 – Soma de todos os termos de uma linha
A soma de todos os números binomiais de uma linha $n$ qualquer do Triângulo Aritmético é igual a $2^n$ .

Soma dos termos da linha $n\rightarrow \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n}{n}=2^n$

Exemplo

$\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}+\binom{6}{4}+\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=2^6=64$

Propriedade 6 – Soma dos termos de uma coluna
A soma dos números binomiais de uma coluna $p$ , desde o primeiro elemento até o elemento da linha $n$ , é igual ao número binomial localizado na linha abaixo $(n+1)$ , e coluna seguinte $(p+1)$ .

$\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+\cdots +\binom{p+n}{p}=\binom{p+n+1}{p+1}$

Exemplo

$\binom{2}{3}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+\binom{5}{2}+\binom{6}{2}=\binom{7}{3}$

Propriedade 7 – Soma dos termos de uma diagonal
A soma dos números binomiais de uma diagonal qualquer do Triângulo Aritmético, desde o elemento da coluna 0 e da linha $n$ até o elemento da coluna $p$ e da linha $n+p$ , é igual ao número binomial imediatamente abaixo dele.

$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n+p}{p}=\binom{n+p+1}{p}$

Exemplo

$\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}=\binom{7}{3}$

Aplicações

OBS 1: $\binom{n}{p}=\binom{n}{q}\Rightarrow p=q\, \text{ou}\,p+q=n\rightarrow$ Números Binomiais Complementares

$\binom{n}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}\rightarrow$ Relação de Fermat

$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\rightarrow$ Relação de Stifel

$\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}++\binom{p+n}{p}=\binom{p+n+1}{p+1}\rightarrow$ Soma dos termos de uma coluna

OBS 2: As potências de 1,1 (aumento de 10%) podem ser encontradas no Triângulo Aritmético com algumas considerações.