Trigonometria em um triângulo qualquer

Por: Aline Ribeiro  

 

1. Teorema dos cossenos: O teorema dos cossenos, também conhecido como lei dos cossenos, é uma adaptação da definição do cosseno para poder

ser utilizada em qualquer triângulo. Dado um triângulo qualquer:

Para demonstrar este teorema iremos considerar o triângulo abaixo:

Nele observamos dois triângulos retângulos: e . Aplicando o teorema de Pitágoras em :

 

Fazendo o mesmo em :

 

Subtraindo as duas equações temos:

 

Se compararmos a nossa nova equação com o teorema dos cossenos, iremos observar que elas estão muito parecidas, exceto pelo último termo. Por isso

temos que expressar em função dos lados.

 

Tomando como base o triângulo retângulo , podemos usar o cosseno do ângulo :

 

Substituindo em , temos:

Como queríamos demonstrar.  

 

Observação: Esta demonstração só é válida para triângulos acutângulos, caso ele seja obtusângulo é necessário uma outra demonstração muito parecida

com a apresentada aqui. Essa demonstração ficará por conta do leitor.

 

2. Teorema dos senos: O teorema dos senos, também conhecido como lei dos senos, é uma adaptação da definição do seno para poder ser utilizada

em qualquer triângulos. Dado um triângulo :

Para demonstrar este teorema iremos considerar o triângulo ABC inscrito em uma circunferência. Como no desenho abaixo:

 

A seguir, iremos traçar um novo triângulo passando pelos vértices C e B que também estará inscrito nessa circunferência, como na figura abaixo:

 

O ângulo  está inscrito nessa circunferência, por isso podemos afirmar que a medida do menor arco formado pelos pontos e é . Com isso podemos

definir a medida do ângulo como sendo  também, pois este está inscrito nessa circunferência e também refere-se ao menor arco entre os pontos

 e . A figura a seguir ilustra essa situação:

  

Calculando o seno do ângulo  no triângulo retângulo temos:

 

Como  é o diâmetro da circunferência, então , onde  é o raio da circunferência. Então:

 

Podemos fazer essa mesma sequência de passos com os outros lados do triângulo. Desse modo, iremos obter os seguintes resultados:

  e  

 

Então, podemos concluir:

Como queríamos demonstrar.

 

3. Reconhecendo a natureza de um triângulo: Como já foi visto em módulos anteriores, um triângulo onde ,  e representam as medidas dos lados

e é a medida do maior lado, precisa respeitar a condição de existência dos triângulos:

 

Além disso, um triângulo pode ter sua natureza classificada de três formas: Ele pode ser acutângulo, obtusângulo ou retângulo. Pensando nisso Alexis

Claude de Clairaut, um matemático francês, definiu três equações conhecidas como Síntese de Clairaut, que permitem essa classificação considerando

apenas as medidas dos lados:

 

- é acutângulo quando:

 

 

-  é retângulo quando:

 

-  é obtusângulo quando:

 

4. Teorema de Stewart: O teorema de Stewart é uma relação entre as medidas dos tamanhos dos lados de um triângulo e a medida do tamanho de uma

ceviana (segmento de reta compreendido entre o vértice e o lado oposto). Ele leva este nome devido ao matemático escocês Matthew Stewart, ministro da

igreja da Escócia, que o publicou em 1746. 

  

         

5. Exemplos: 

 

Exemplo 1: Determine a medida da diagonal menor do paralelogramo representado ao lado:

 

A diagonal menor é o seguimento BD, considerando apenas o triângulo ADB:

Usando a lei dos cossenos: 

 

Exemplo 2: Num triângulo , sabe-se que , e . Calcule a medida dos outros dois lados desse triângulo. 

(Dados: sen 80º = 0,985 e sen 40º=0,643).

 

Desenhando a situação, temos:

Usando a lei dos senos temos:

 

Agora só precisamos definir o valor de . Esse pode ser calculado pela lei dos senos ou pela lei dos cossenos. Usando a lei dos senos:

 

Exemplo 3: (UNICAMP 2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo ABC, em que 𝐴𝐵 = 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶. Determine o valor de  .

 

Antes de começar a fazer a questão precisamos de pensar em um método eficaz para resolvê-la. Temos que pela definição:

 

 

Então, se encontrarmos os valores de e de  resolvemos o problema. Para isso podemos usar a lei dos cossenos e a lei dos senos. 

Primeiramente vamos exportar as informações do enunciado para o desenho.

 

O triângulo é isósceles. Desse modo a medida de e como é suplementar, .

Exportando para a imagem:

 

Nessa figura temos dois triângulos retângulo: e . Em ambos podemos calcular os valores da hipotenusa em função de x.

Triângulo :

 

Triângulo :

 

Usando a lei dos cossenos no triângulo temos:

 

Usando a lei dos senos no triângulo temos:

 

Calculando o valor de :

 

Exemplo 4: Na figura, o triângulo é equilátero e o triângulo é isósceles de base . A medida de é:

 

Exportando as informações do problema para a imagem:

 

Considerando o triângulo , temos como ceviana. Assim, podemos usar o teorema de Stewart: