Resumo de matematica: Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Por: Aline Ribeiro

1. Triângulo retângulo: Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um de seus ângulos com medida igual a 90º.

Podemos dizer que os ângulos e são complementares, pois:

$\alpha +\beta +90^{\circ}=180^{\circ}$

$\alpha +\beta =90^{\circ}$

Esse resultado pode parecer muito simples, mas será de extrema importância para os próximos conceitos.

2. Relações métricas em um triângulo retângulo: As relações métricas que serão apresentadas nesse tópico são válidas apenas para triângulos

retângulos. Elas são muito utilizada para determinar as medidas dos lados de um triângulo, sua altura e suas projeções ortogonais, dado apenas

duas dessas medidas, ou seja, com duas medidas será possível determinar todas as outras medidas de um triângulo retângulo.

Considere o triângulo $ABC$ abaixo:

O segmento $\overline{CD}$ é chamado de projeção ortogonal do cateto $\overline{AC}$ sobre a hipotenusa. Podemos exemplificar a projeção ortogonal como sendo a sombra

do cateto na hipotenusa, feita pelo sol ao meio dia. O segmento $\overline{BD}$ também é uma projeção ortogonal, só que do cateto $\overline{AB}$ sobre a hipotenusa.

As cinco principais relações métricas de um triângulo retângulo são:

- $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ (Teorema de Pitágoras)

- $b^{2}=a\cdot m$

- $c^{2}=a\cdot n$

- $h^{2}=m\cdot n$

- $a\cdot h=b\cdot c$

Vamos agora demonstrar cada uma delas.

Considere os triângulos $ADC$ , $BDA$ e $BAC$ , podemos afirmar que os três são semelhantes entre si, pelo caso ângulo, ângulo.

Abaixo separamos cada um deles para facilitar a visualização:

Fazendo a semelhança entre os triângulos III e II.

$\frac{III}{II}=\frac{b}{h}=\frac{c}{n}=\frac{a}{c}$

Considerando apenas a última igualdade:

$\frac{c}{n}=\frac{a}{c}$

$c^{2}=a\cdot n$

Que é a terceira relação métrica.

Utilizando a semelhança nos triângulos III e I, temos:

$\frac{III}{I}=\frac{b}{m}=\frac{c}{h}=\frac{a}{b}$

Usando apenas o primeiro e o último termo da igualdade temos:

$\frac{b}{m}=\frac{a}{b}$

$b^{2}=a\cdot m$

Que é a segunda relação métrica.

Considerando agora os dois últimos termos da igualdade temos:

$\frac{c}{h}=\frac{a}{b}$

$a\cdot h=b\cdot c$

Que é a quinta relação métrica.

Por fim, faremos a semelhança entre os triângulos II e I:

$\frac{II}{I}=\frac{h}{m}=\frac{n}{h}=\frac{c}{b}$

Com base nos dois primeiros termos da igualdade temos:

$\frac{h}{m}=\frac{n}{h}$

$h^{2}=m\cdot n$

Que é a quarta relação métrica.

A única relação que ainda não foi demonstrada é Teorema de Pitágoras. Para isso iremos somar a segunda e a terceira relação, que já foram provadas:

$b^{2}=a\cdot m$

$c^{2}=a\cdot n$

$b^{2}+c^{2}=a\cdot m+a\cdot n$

$b^{2}+c^{2}=a\left (m+ n \right )$

Com base na figura podemos afirmar que m+n é igual a medida da hipotenusa. Desse modo:

$b^{2}+c^{2}=a\cdot a$

$b^{2}+c^{2}=a^{2}$

3. Aplicação do teorema de Pitágoras: Existem várias aplicações para o Teorema de Pitágoras, mas iremos expor apenas duas.

3.1. Diagonal de um quadrado de lado L: Dado um quadrado, iremos determinar a medida de sua diagonal em relação ao seu lado.

Considere o triângulo $BCD$ , como ele é retângulo podemos usar o teorema de Pitágoras.

$d^{\ 2}=L^{2}+L^{2}$

$d=L\cdot \sqrt{2}$

Ou seja, para qualquer quadrado a medida da diagonal pode ser expressa como sendo $L\cdot \sqrt{2}$ .

3.2. Altura de um triângulo equilátero de lado L: Considere agora um triângulo equilátero. Iremos definir a altura desse triângulo tendo como base os lados.

Tomando o triângulo $CDB$ podemos usar o teorema de Pitágoras e definir a medida de $h$ .

$L^{2}=h^{2}+\left ( \frac{L}{2} \right )^{2}$

$L^{2}=h^{2}+\frac{L}{4} ^{2}$

$h^{2}=\frac{4L^{2}}{4}-\frac{L}{4} ^{2}$

$h^{2}=\frac{3L^{2}}{4}$

$h=\frac{L\sqrt{3}}{2}$

Ou seja, para qualquer triângulo a medida da altura pode ser expressa como sendo $\frac{L\sqrt{3}}{2}$ .

4. Exemplos:

Exemplo 1: Calcule o valor de x, y, z e t no triângulo retângulo abaixo:

Conhecemos apenas duas medidas desse triângulo e por meio delas iremos definir as outras.

Primeiramente vamos determinar o valor de x, através do teorema de Pitágoras:

17 ² = 15 ² + x ²

289 = 225 + x ²

64 = x ²

8 = x

Agora que já sabemos o valor de x podemos calcular a medida da altura desse triângulo, que está representada na figura como y.

a.h = b.c

17y = 8.15

17y = 120

$y=\frac{120}{17}$

Também é possível determinar a medida de t através da relação métrica:

b ² = a.m

8 ² = 17.t

64 = 17.t

$t=\frac{64}{17}$

Da mesma maneira podemos determinar a medida de z que é a projeção ortogonal do cateto com medida 15.

c ² = a.n

15 ² = 17.z

225 = 17. z

$z=\frac{225}{17}$

Exemplo 2: Em um mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. A estrada AB tem 80 Km e a estrada BC

tem 100 Km. Um rio impede a existência de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, foi construída uma estrada

saindo A e perpendicular à estrada BC. Quantos quilometro uma pessoa que sai da cidade A percorre para chegar na cidade C, pelo menor caminho?

Antes de começar a resolver o problema é muito importante desenhá-lo:

Os caminhos que estamos interessados é o de A até D e o de D até C. Para definir o seu tamanho é necessário calcular as medidas de AD e de DC.

Para isso precisamos saber o valor de AC:

a ² = b ² + c ²

100 ² = 80 ² + AC ²

10000 - 6400 = AC ²

3600 = AC ²

60 = AC

Com isso podemos calcular AD:

a.h = b.c

100 . AD = 80 . 60

AD = 4800 : 100

AD = 48 Km

Por fim, só precisamos de determinar a medida de DC:

b ² = a.n

60 ² = 100 . DC

3600 : 100 = DC

DC = 36 Km

Assim, o menor caminho percorrida pela pessoa que saí de A e vai para C é de:

48 Km + 36 Km = 84 Km