Questões de Matemática - FUVEST 2012 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2012) (2 fase) O polinmio p(x)=x4+ax+bx+cx-8, em que a,b, c so nmeros reais, tem o nmero complexo 1+i como raiz, bem como duas razes simtricas. a) Determine a,b,c e as razes de p(x). b) Subtraia 1 de cada uma das razes de p(x) e determine todos os polinmios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como razes.

(FUVEST - 2012) (2 fase) No tringulo acutngulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5, o ngulo interno de vrtice C mede , e o ngulo interno de vrtice B mede /2 . Sabe-se, tambm, que 2cos(2)+3cos+1=0. Nessas condies, calcule: a) o valor de sen ; b) o comprimento do lado AC.

(FUVEST 2012) a) Dez meninas e seis meninos participaro de um torneio de tnis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianas podem ser separadas nos grupos A, B, Ce D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos Ae Csero formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal ter os jogos entre Maria e Joo e entre Marta e Jos. Os vencedores de cada um dos jogos faro a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina 3/5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.

(FUVEST - 2012) A base do tetraedro PABCD o quadrado ABCD de lado L, contido no plano . Sabe-se que a projeo ortogonal do vrtice P no plano est no semiplano de determinado pela reta BC e que no contm o lado AD. Alm disso, a face DPC um tringulo issceles de base BC Cuja altura forma, com o plano , um ngulo , em que 0 /2. Sendo PB = , determine, em funo de L e , a) o volume do tetraedro PABCD; b) aaltura do tringulo APB relativa ao lado AB; c) a altura do tringulo APD relativa ao lado AD.

(FUVEST 2012) (2 fase) Determine para quais valores reais de x verdadeira a desigualdade

(FUVEST 2012) (2 fase) Na figura, a circunferncia de centro O tangente reta CD no ponto D, o qual pertence reta AO. Alm disso, A e B so pontos da circunferncia, AB=63 e BC=23. Nessas condies, determine a) a medida do segmento CD; b) o raio da circunferncia; c) a rea do tringulo AOB; d) a rea da regio hachurada na figura.

(FUVEST - 2012)(2 FASE) Considere uma progresso aritmtica cujos trs primeiros termos so dados por , em que um nmero real. a) Determine os possveis valores de . b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progresso aritmtica correspondente ao menor valor de encontrado no item a).

(FUVEST - 2012)(2 FASE) Considere a funo , cujo domnio o intervalo fechado e que est definida pelas condies: para , tem-se ; para , tem-se ; linear no intervalo e tambm no intervalo , conforme mostra a figura ao lado; a rea sob o grfico de no intervalo o triplo da rea sob o grfico de no intervalo . Com base nessas informaes, a) desenhe, no sistema de coordenadas indicado na pgina de resposta, o grfico de no intervalo ; b) determine a rea sob o grfico de no intervalo ; c) determine .

(FUVEST - 2012) Em uma festa com ݊n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a 

(FUVEST - 2012)O segmento lado de um hexgono regular de rea. O ponto Ppertence mediatriz deAB de tal modo que a rea do tringulo PAB vale. Ento, a distncia de Pao segmento igual a:

(FUVEST - 2012)O nmero real, comsatisfaz aequao Ento,vale

(FUVEST - 2012) Considere a funoa qual est definida para x -1.Ento, para todo x 1 e x -1, o produto f(x)f(-x) igual a

(FUVEST - 2012)  Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a 

(FUVEST - 2012) Na figura, tem-se   paralelo a paralelo a . Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento   é igual a:   

(FUVEST - 2012) Considere a matriz em que a um nmero real. Sabendo que A admite inversa A-1 cuja primeira coluna , a soma dos elementos da diagonal principal de A-1 igual a