Questões de Matemática - FUVEST 2013 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2013) Um empreiteiro contratou um servio com um grupo de trabalhadores pelo valor de ܴ$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como trs desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o servio, ܴ$ 600,00 alm do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o servio? b) Quanto recebeu cada um deles?

(FUVEST - 2013 - 2 fase) Representando apenas 19,6% das exportaes brasileiras em 1822 (com a mdia de 18,4% nos anos 1820), o caf passou a liderar as exportaes brasileiras na dcada dos 1830 (com 28,6%), assumindo assim o lugar tradicionalmente ocupado pelo acar desde o perodo colonial. Nos meados do sculo XIX, passava a representar quase a metade do valor das exportaes e, no ltimo decnio do perodo monrquico, alcanava 61,5%. J a participao do acar no quadro dos valores das exportaes brasileiras passou de 30,1%, na dcada de 1820, a apenas 9,9%, nos anos 1880. O algodo alcanava 20,6%, na dcada de 1820, cifra jamais alcanada depois, em todo o perodo monrquico. Com exceo dos anos da guerra civil americana, que se refletiram na elevada participao do produto no conjunto das exportaes dos anos 1870 (18,3%), verifica-se o declnio das exportaes que, nos anos 1880, tm uma participao de apenas 4,2%. O comportamento das exportaes de fumo revela que essas oscilaram em torno de baixas percentagens, durante todo o perodo monrquico. Alcanando 2,5% do valor global das exportaes na dcada de 1820, decaiu, nas duas dcadas seguintes (1,9% para os anos 1830 e 1,8% para os anos 1840). Na segunda metade do sculo, melhorou a posio do fumo no conjunto das exportaes, tendo alcanado, nos anos 1860 e 1870, as maiores percentagens do perodo, com 3% e 3,4%. A participao do cacau no conjunto das exportaes nacionais cresceu de 0,5% na dcada de 1820 para 1,6% na ltima dcada da monarquia, a mais alta porcentagem do perodo. Srgio Buarque de Holanda (org.). Histria geral da civilizao brasileira. II.O Brasil Monrquico. 4. Declnio e queda do imprio. Rio de Janeiro: Difel, 1985, p. 119-126. Adaptado. Com base no texto, responda ao que se pede: a) Elabore um grfico das exportaes brasileiras de caf, acar e algodo no perodo monrquico, incluindo os respectivos dados percentuais (aproximados). b) Qual foi o principal produto de exportao brasileiro, respectivamente, nas dcadas de 1820, 1830 e 1880?

(FUVEST - 2013) Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horrio. A partir de cada vrtice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recm-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos so denotadas por A, B, C e D, de modo que os novos segmentos sejam, ento, , , , e . Dado que AB = 4 e que a distncia de D reta determinada por A e B 3, calcule a rea do a) paralelogramo ABCD; b) tringulo BBC; c) quadriltero ABCD.

(FUVEST - 2013) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braos articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do cho. Na figura, os pontos, O, P1 eP2representam, respectivamente, a articulao de um dos braos com a base, a articulao dos dois braos e a extremidade livre do guindaste. O brao ܱܲ tem comprimento 6 e o brao ܲ tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de ܲP2 2, P2est a uma altura menor do que P1e a distncia de O a P2 210. Sendo ܳQ o p da perpendicular de P2 ao plano do cho, determine a) o seno e o cosseno do ngulo P2Q entre a reta e o plano do cho; b) a medida do ngulo entre os braos do guindaste; c) o seno do ngulo P1Q entre o braoe o plano do cho.

(FUVEST - 2013) Scrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupao de territrios em um mapa. Scrates ataca jogando trs dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lanados os dados, que so honestos, Scrates ter conquistado um territrio se e somente se as duas condies seguintes forem satisfeitas: 1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa; 2) algum outro dado de Scrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa. a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual a probabilidade de Scrates conquistar o territrio em jogo? b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual a probabilidade de Scrates conquistar o territrio em jogo?

(FUVEST - 2013) No paraleleppedo reto retngulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4. a) Qual a rea do tringulo ABD? b) Qual o volume do tetraedro ABDE? c) Qual a rea do tringulo BDE? d) Sendo Q o ponto do tringulo BDE mais prximo do ponto A,quanto vale AQ?

(FUVEST - 2013) Considere o polinmio p(x) = x4+1. a) Ache todas as razes complexas de p(x). b) Escreva p(x) como produto de dois polinmios de segundo grau, com coeficientes reais.

(FUVEST - 2013) Vinte times de futebol disputam a Srie A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversrios. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes so paulistas

(FUVEST - 2013) So dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferncia C de equao . Uma reta t passa por Pe tangente a Cem um ponto Q. Ento a distncia de Pa Q

(FUVEST - 2013) Os vrtices de um tetraedro regular so tambm vrtices de um cubo de aresta 2. A rea de uma face desse tetraedro

(FUVEST - 2013)As propriedades aritmticas e as relativas noo de ordem desempenham um importante papel no estudo dos nmeros reais. Nesse contexto, qual das afirmaes abaixo correta?

(FUVEST - 2013) Sejam e nmeros reais com e . Se o sistema de equaes, dado em notao matricial, for satisfeito, ento igual a

(FUVEST - 2013) Quando se divide o produto interno bruto (PIB) de um pas pela sua populao, obtm-se a renda per capitadesse pas. Suponha que a populao do pas cresa taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capitadobre em 20 anos. o PIB deve crescer anualmente taxa constante de, aproximadamente, Dado:

(FUVEST - 2013) O mapa de uma regio utiliza a escala de 1: 200 000. A poro desse mapa, contendo uma rea de Preservao Permanente (APP), est representada na figura, na quale so segmentos de reta, o ponto G est no segmento , o ponto E est no segmento , ABEG um retngulo e BCDE um trapzio. Se AF = 15, AG=12, AB= 6, CD = 3e DF= indicam valores em centmetros no mapa real, ento a rea da APP

(FUVEST - 2013) Seja f uma funo a valores reais, com domnio D , tal que, para todo xD. O conjunto que pode ser o domnio D