Questões de Matemática - ITA 2015 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2015 - 1 FASE) Sejaa matriz tal que. Considere as afirmaes a seguir: I. Os elementos de cada linha i formaram uma progresso aritmtica de razo 2i. II. Os elementos de cada coluna j formam uma progresso geomtrica de razo 2. III. tr A um nmero primo. (so) verdadeira(s)

Considerea matrizM = (mij)2x2tal quemij= j - i + 1, com i e j iguais a 1 ou 2. Sabendo-se que , então o valor de n é igual a

Considere os pontosA = (0,-1), B = (0,5) e a reta r: 2x - 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir: I. d(A,r) = d(B,r) II. B é simétrico de A em relação à reta r. III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (-3, 2) ou C = (3, 2). É (são) verdadeira (s) apenas

(ITA - 2015 - 1 FASE) Sejam e nmeros reais tais que , , + ]0; 2[ e satisfazem as equaes e Ento, o menor valor de cos( + ) igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Dados o ponto e a reta r : 3x + 4y - 12 = 0, considere o tringulo de vrtices ABC, cuja base est contida em r e a medida dos lados e igual a .Ento, a rea e o permetro desse tringulo so, respectivamente, iguais a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Seja A, B e C os subconjuntos de definidos por ,e. Ento, o conjunto

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere as afirmaes a seguir: I. O lugar geomtrico do ponto mdio de um segmento , com comprimento fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados uma circunferncia. II. O lugar geomtrico dos pontos (x, y) tais que 6x3 + x2y - xy2 - 4x2 - 2xy = 0 um conjunto finito no plano cartesiano IR2. III. Os pontos (2, 3), (4, -1) e (3, 1) pertencem a uma circunferncia. Destas, (so) verdadeira(s)

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere a equao ,com a e b nmeros inteiros positivos. Das afirmaes: I. Se a = 1 e b = 2, ento x = 0 uma soluo da equao. II. Se x soluo da equao, ento ,e. III. no pode ser soluo da equao. (so) verdadeira(s)

(ITA - 2015 - 1 FASE) Num tringulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados e , respectivamente, tais que o segmento seja tangente circunferncia inscrita ao tringulo PQR. Sabendo-se que o permetro do tringulo PQR 25 e que a medida de 10, ento o permetro do tringulo PMN igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Seja C uma circunferncia tangente simultaneamente s retas r : 3x + 4y - 4 = 0 e s : 3x + 4y - 19 = 0. A rea do crculo determinado por C igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere todos os tringulos retngulos com os lados medindo ,e.Dentre esses tringulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ngulo, em radianos, igual a

Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. II. . III. é um número racional. É (são) verdadeira(s):

(ITA - 2015 - 1 FASE) Se , ento o valor de 2 arcsen (Re(z)) + 5 arctg (2 Im(z)) igual a

Seja (a1, a2, a3, ...) a sequncia definida da seguinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = an-1+ an-2 para n 3.Considere as afirmaes a seguir: I. Existem trs termos consecutivos, ap, ap+1, ap+2, que, nesta ordem, formam uma progresso geomtrica. II. a7 um nmero primo. III. Se n mltiplo de 3, ento an par. (so) verdadeira(s).

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere o polinmio p dado por p(x) = 2x3+ ax2+ bx - 16, com a, b IR.Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 uma raiz de p, ento o valor de b - a igual a