Questões de Matemática - UERJ 2008 | Gabarito e resoluções

(Uerj 2008) Considere o icosaedro a seguir (Fig. 1), construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados. A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro. Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado na figura 2. Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica. (Fig. 3) O número de arestas dessa estrutura é igual a:

(Uerj 2008) A ilustração da figura 1 mostra um instrumento, em forma de V, usado para medir o diâmetro de fios elétricos. Para efetuar a medida, basta inserir um fio na parte interna do V e observar o ponto da escala que indica a tangência entre esse fio e o instrumento. Nesse ponto, lê-se o diâmetro do fio, em milímetros. Considere, agora, a ilustração da figura 2, que mostra a seção reta de um fio de 4 mm de diâmetro inserido no instrumento. Se o ângulo  do instrumento mede 12°, a distância d, em milímetros, do ponto A ao ponto de tangência P é igual a:

(Uerj 2008) Um RNA sintético foi formado apenas pelas bases citosina e guanina, dispostas ao acaso, num total de 21 bases. O esquema a seguir mostra o RNA mensageiro, formado a partir da introdução dos códons de iniciação AUG e de terminação UAA nas extremidades do RNA original. Nesse esquema, B representa as bases C ou G. Sabe-se que: - os códons correspondentes ao aminoácido arginina são AGA, AGG, CGA, CGC, CGG e CGU; - o aminoácido metionina correspondente ao códon de iniciação AUG é removido do peptídeo sintetizado pela tradução desse RNA mensageiro. A probabilidade de que a arginina apareça pelo menos uma vez na estrutura final deste peptídeo é de: