Questões de Matemática - UNICAMP 2008 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2008 - 1afase - Questo 1) TEXTO 2 COLETNEA Os grandes problemas contemporneos de sade pblica exigem a atuao eficiente do Estado que, visando proteo da sade da populao, emprega tanto os mecanismos de persuaso (informao, fomento), quanto os meios materiais (execuo de servios) e as tradicionais medidas de polcia administrativa (condicionamento e limitao da liberdade individual). Exemplar na implementao de poltica pblica o caso da dengue, que se expandiu e tem-se apresentado em algumas cidades brasileiras na forma epidmica clssica, com perspectiva de ocorrncias hemorrgicas de elevada letalidade. Um importante desafio no combate dengue tem sido o acesso aos ambientes particulares, pois os profissionais dos servios de controle encontram, muitas vezes, os imveis fechados ou so impedidos pelos proprietrios de penetrarem nos recintos. Dada a grande capacidade dispersiva do mosquito vetor, Aedes aegypti, todo o esforo de controle pode ser comprometido caso os operadores de campo no tenham acesso s habitaes. (Adaptado de Programa Nacional de Controle da Dengue. Braslia: Fundao Nacional de Sade, 2002.) O texto 2 da coletnea faz referncia ao combate dengue. A tabela abaixo fornece alguns dados relativos aos casos de dengue detectados no municpio de Campinas na primeira metade do ano de 2007. A primeira coluna da tabela indica os distritos do municpio, segundo a prefeitura. A segunda indica a populao aproximada de cada distrito. A terceira informa os casos de dengue confirmados. Na ltima, so apresentados os coeficientes de incidncia de dengue em cada distrito. A figura direita uma representao aproximada dos distritos de Campinas. Responda s questes abaixo, tomando por base os dados fornecidos na tabela acima. a) Calcule o coeficiente de incidncia de dengue no distrito noroeste, em casos por 10.000 habitantes. O coeficiente de incidncia de dengue hemorrgica em todo o municpio de Campinas, no mesmo perodo, foi de 0,236 casos por 10.000 habitantes. Determine o nmero de casos de dengue hemorrgica detectados em Campinas, no primeiro semestre de 2007. b) Calcule o coeficiente de incidncia de dengue no municpio de Campinas na primeira metade de 2007 e o crescimento percentual desse coeficiente com relao ao coeficiente do primeiro semestre de 2005, que foi de 1 caso por 10.000 habitantes.

(UNICAMP - 2008 - 1afase - Questo 2) Responda s questes abaixo, tomando por base os dados fornecidos na tabela e na figura mostradas acima. a) Calcule a rea total do municpio de Campinas, sabendo que os distritos norte, leste, sul e noroeste da cidade tm, respectivamente, 175 km2 , 350 km2 , 120 km2 e 75 km2 . b) Suponha que, como uma medida de combate dengue, o municpio de Campinas tenha decidido fazer uma nebulizao (ou pulverizao) de inseticida. Na fase inicial da nebulizao, ser atendido o distrito com maior nmero de casos de dengue por km2 . Reproduza o diagrama abaixo em seu caderno de respostas. Em seu diagrama, marque os pontos correspondentes aos cinco distritos de Campinas. Identifique claramente o distrito associado a cada ponto. Com base no grfico obtido, indique o distrito em que ser feita essa nebulizao inicial. Justifique sua resposta.

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 10) Uma ponte levadia, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcaes, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vo AB , conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B tm alturas iguais, no importando a posio da ponte, responda s questes abaixo. a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1 equivale a 30 segundos, qual ser o tempo necessrio para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5 m, com relao posio destes quando a ponte est abaixada? b) Se = 75, quanto mede AB?

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 1) Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos so assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seo trapezoidal, conforme representado na figura abaixo. A base menor do trapzio, que issceles, tem 2 m, a base maior tem 2,8 m e as arestas laterais tm 50 cm de comprimento. Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva ser construdo, responda s seguintes questes. a) Que volume de brita ser gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia? b) Se a parte interna da caamba de um caminho basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de caminho sero necessrias para transportar toda a brita?

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 8) Sejam dadas as funes f(x) = px e g(x) = 2x + 5, em que p um parmetro real. a) Supondo que p = 5, determine para quais valores reais de x tem-se f(x).g(x) 0. b) Determine para quais valores de p temos g(x) f(x) para todo x [8, 1].

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 7) A escala de um aparelho de medir rudos definida como R = 12 + log10 , em que R a medida do rudo, em bels, e a intensidade sonora, em W/m2 . No Brasil, a unidade mais usada para medir rudos o decibel, que equivale a um dcimo do bel. O rudo dos motores de um avio a jato equivale a 160 decibis, enquanto o trfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 80 decibis, que o limite a partir do qual o rudo passa a ser nocivo ao ouvido humano. a) Escreva uma frmula que relacione a medida do rudo Rd, em decibis, com a intensidade sonora I, em W/m2. Empregue essa frmula para determinar a intensidade sonora mxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano. b) Usando a frmula dada no enunciado ou aquela que voc obteve no item (a), calcule a razo entre as intensidades sonoras do motor de um avio a jato e do trfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 9) Uma matriz real quadrada P dita ortogonal se PT = P1, ou seja, se sua transposta igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: voc pode usar o fato de que P1P = , em que a matriz identidade. b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q ortogonal, determine a soluo do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A1b. ,,

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 12) As retas de equaes y=ax+b e y=cx so ilustradas na figura abaixo. Sabendo que o coeficiente b igual mdia aritmtica dos coeficientes a e c, a) Expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b; b) Determine a, b e c sabendo que a rea do tringulo OPR o dobro da rea do tringulo ORQ e que o tringulo OPQ tem rea 1.

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 5) Durante um torneio paraolmpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravao, descobriu-se a altura (y) do peso em funo de sua distncia horizontal (x), medida em relao ao ponto de lanamento. Alguns valores da distncia e da altura so fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax2 + bx + c a funo que descreve a trajetria (parablica) do peso. a) Determine os valores de a, b e c. b) Calcule a distncia total alcanada pelo peso nesse arremesso.

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 4) Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida disputada em uma pista de atletismo com 400 m de comprimento. Os dois atletas correram a velocidades constantes, porm diferentes. O atleta mais rpido completou cada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 17 voltas e meia, o atleta mais rpido ultrapassou o atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para percorrer cada volta? b) Em quanto tempo o atleta mais rpido completou a prova, que era de 10.000 metros? No momento em que o atleta mais rpido cruzou a linha de chegada, que distncia o atleta mais lento havia percorrido?

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 3) Considere a sucesso de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura formada por um conjunto de palitos de fsforo. a) Suponha que essas figuras representam os trs primeiros termos de uma sucesso de figuras que seguem a mesma lei de formao. Suponha tambm que F1 , F2 e F3 indiquem, respectivamente, o nmero de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o nmero de fsforos utilizados para formar a figura n seja Fn . Calcule F10 e escreva a expresso geral de Fn . b) Determine o nmero de fsforos necessrios para que seja possvel exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras.

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 2) Uma passagem de nibus de Campinas a So Paulo custa R$17,50. O preo da passagem composto por R$ 12,57 de tarifa, R$ 0,94 de pedgio, R$ 3,30 de taxa de embarque e R$ 0,69 de seguro. Uma empresa realiza viagens a cada 15 minutos, sendo que o primeiro nibus sai s 5 horas da manh e o ltimo, meianoite. No perodo entre o meio-dia e as duas horas da tarde, o intervalo entre viagens sucessivas de 30 minutos. a) Suponha que a empresa realiza todas as viagens previstas no enunciado e que os nibus transportam, em mdia, 36 passageiros por viagem. Qual o valor arrecadado pela empresa, por dia, nas viagens entre Campinas e So Paulo, desconsiderando as viagens de volta? b) Se a taxa de embarque aumentar 33,33% e esse aumento for integralmente repassado ao preo da passagem, qual ser o aumento percentual total do preo da passagem?

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 6) Seja C o conjunto dos nmeros (no sistema decimal) formados usando-se apenas o algarismo 1, ou seja C = { 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... }. a) Verifique se o conjunto C contm nmeros que so divisveis por 9 e se contm nmeros divisveis por 6. Exiba o menor nmero divisvel por 9, se houver. Repita o procedimento em relao ao 6. b) Escolhendo ao acaso um nmero m de C, e sabendo que esse nmero tem, no mximo, 1000 algarismos, qual a probabilidade de m ser divisvel por 9?

(UNICAMP - 2008 - 2fase - Questo 11) Suponha que um livro de 20 cm de largura esteja aberto conforme a figura abaixo, sendo DAC = 120e DBC = 60. a) Calcule a altura AB do livro. b) Calcule o volume do tetraedro de vrtices A, B, C e D.