Questões de Matemática - FUVEST 2011 | Gabarito e resoluções

(FUVEST 2011) Determine o conjunto de todos os nmeros reais x para os quais vale a desigualdade

(FUVEST 2011) Na figura abaixo, o cubo de vrtices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l. Os pontos M e N so pontos mdios das arestas ABe BC, respectivamente. Calcule a rea da superfcie do tronco de pirmide de vrtices M, B, N, E, F, G.

(FUVEST 2011)Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questes, sendo 7 de Portugus, 4 de Geografia e 3 de Matemtica. Diferentes verses da prova podero ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questes. a) Quantas verses distintas da prova podero ser produzidas? b) A instituio responsvel pelo vestibular definiu as verses classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padro: as 7 primeiras questes so de Portugus, a ltima deve ser uma questo de Matemtica e, ainda mais: duas questes de Matemtica no podem aparecer em posies consecutivas. Quantas verses classe A distintas da prova podero ser produzidas? c) Dado que um candidato vai receber uma prova que comea com 7 questes de Portugus, qual a probabilidade de que ele receba uma verso classe A?

(FUVEST - 2011) Um viajante saiu de Araripe, no Cear, percorreu, inicialmente, 1000 km para o sul, depois 1000 km para o oeste e, por fim, mais 750 km para o sul. Com base nesse trajeto e no mapa acima, pode-se afirmar que, durante seu percurso, o viajante passou pelos estados do Cear,

(FUVEST - 2011) As razes da equao do terceiro grau x - 14x + kx - 64 = 0 So todas reais e formam uma progresso geomtrica. Determine a) as razes da equao; b) o valor de k.

(FUVEST - 2011 - 2 fase) Define-se geometricamente a razo urea do seguinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o segmento AB na razo urea quando os valores AC/AB e CB/AC so iguais. Esse valor comum chamado razo urea. A razo urea, tambm denominada proporo urea, nmero de ouro ou divina proporo, conquistou a imaginao popular e tema de vrios livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemticas esto corretamente enunciadas, mas muitas afirmaes feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na esttica so falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas afirmaes sobre a razo urea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino mdio trazem conceitos incorretos sobre ela. Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, Misconceptions about the golden ratio, The College Mathematics Journal, 23, 1, january, 1992, pp. 2-19. a) Reescreva o trecho (...) mas muitas afirmaes feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na esttica so falsas ou equivocadas, substituindo a conjuno que o inicia por embora, com as devidas alteraes. b) O verbo da orao Infelizmente, essas afirmaes sobre a razo urea foram amplamente divulgadas est na voz passiva analtica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sinttica, fazendo as devidas alteraes. c) Na figura presente no espao destinado resposta desta questo, o polgono ADEFG um pentgono regular. Utilize semelhana de tringulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razo urea.

(FUVEST - 2011) Uma geladeira vendida em n parcelasiguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto,pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros,o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessasinformaes, conclui-se que o valor de n igual a

(FUVEST - 2011) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das razes da equao f(g(x)) = g(x) igual a

(FUVEST - 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que o ponto mdio de , o ponto mdio dee. Ento, igual a

(FUVEST - 2011) Seja x 0 tal que a sequncia forme, nessa ordem, uma progresso aritmtica. Ento, igual a

(FUVEST - 2011)Sejam x e ynmeros reais positivos tais que x + y =/2 . Sabendo-se que sen(y - x) = 1/3, o valor de tg y - tgx igual

(FUVEST - 2011) A esfera, de centro O e raio r 0, tangente ao plano. O plano paralelo a e contm O. Nessas condies, o volume da pirmide que tem como base um hexgono regular inscrito na interseco de com e, como vrtice, um ponto em, igual a

(FUVEST - 2011) Um dado cbico, no viciado, com faces numeradas de 1 a 6, lanado trs vezes. Em cada lanamento, anota-se o nmero obtido na face superior do dado, formando-se uma sequncia (a, b, c). Qual a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?

(FUVEST - 2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem circunferncia C. Uma outra circunferncia, de centro em (-1/2, 4) tangente a C no ponto (0, 3). Ento, o raio de C vale

(FUVEST - 2011) Seja f(x) = a + 2bx+c , em que a, b e c so nmeros reais. A imagem de f asemirreta ]-1,[ e o grfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4).Ento, o produto abc vale