Questões de Matemática - ITA 1996 | Gabarito e resoluções

(Ita 1996) Dadas as afirmações a seguir:    Existem mais possibilidades de escolher 44 números diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que escolher 6 números diferentes entre os inteiros de 1 a 50. Conclui-se que:

(ITA 1996) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm2 , então o volume deste paralelepípedo, em cm3 , é igual:

(Ita 1996) Se (x0,y0) é uma solução real do sistema então x0 + y0 é igual a:

(Ita 1996) Seja f: R*+ R uma função injetora tal que f(1) = 0 e f(x y) = f(x) + f(y) para todo x 0 e y 0. Se x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que onde n = 4, então, o valor de x1 é:

(Ita 1996) Considere o polinômio p(z) = z6 + 2z5 + 6z4 + 12z3 + 8z2 + 16z. Sobre as raízes da equação p(z) = 0, podemos afirmar que:

(Ita 1996) Tangenciando externamente a elipse 1, tal que 1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0, considere uma elipse 2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de 1 e cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de 1. Sabendo que 2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de 2 é:

(Ita 1996) Seja á um número real tal que  e considere a equação . Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois dos ângulos internos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale:

(Ita - 1996) Numa pirâmide triangular regular, a área da base é igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio da esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão é igual a:

(Ita 1996) Seja á um número real tal que e considere a equação . Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois dos ângulosinternos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale:

(ITA - 1996) Seja a R, a 0 e a 1 e considere a matriz A: Para que a caracterstica de A seja mxima, o valor de a deve ser tal que:

(Ita 1996) Três pessoas, A, B, C, chegam no mesmo dia a uma cidade onde há cinco hotéis H1, H2, H3, H4 e H5. Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são corretas? (I) Existe um total de 120 combinações. (II) Existe um total de 60 combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente. (III) Existe um total de 60 combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel.

(Ita 1996) São dadas as retas   e   e a circunferência (C) x2 + 2x + y2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que:

(ITA 1996) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência (x - 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por:

(Ita 1996) Seja f: R*+  R uma função injetora tal que f(1) = 0 e f(x  y) = f(x) + f(y) para todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que   onde n = 4, então, o valor de x1 é:

(Ita 1996) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e p2: cujos vértices são denotados, respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é: