Questões de Matemática - ITA 2001 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2001 - 1a Fase) Se a IR tal que tem raiz dupla, ento a soluo da equao :

(ITA - 2001 - 1a Fase) O valor da soma a+b para que as razes do polinmio 4x4 - 20x3 + ax2 - 25x + b estejam em progresso aritmtica de razo 1/2 :

(ITA - 2001 - 1a Fase) Se argumento de, ento igual a:

(ITA - 2001 - 1a Fase) O nmero complexo , tem argumento. Neste caso, a igual a:

(ITA - 2001) Um tringulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centmetros. A partir dele, constri-se uma sequncia de tringulos do seguinte modo: os pontos mdios dos lados de um tringulo so os vrtices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centmetros quadrados que est mais prximo da soma das reas dos 78 primeiros tringulos assim construdos, incluindo o tringulo inicial, :

(ITA - 2001 - 1a Fase) Sabendo que de 1024 a soma dos coeficientes do polinmio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binmio (x+y)n, temos que o nmero de arranjos sem repetio de n elementos, tomados 2 a 2, :

(ITA - 2001 - 1a Fase) A respeito das combinaes mostradas abaixo, temos que, para cada n = 1, 2, 3, ..., a diferena an - bn igual a: e

(ITA - 2001 - 1a Fase) Sejam A e B matrizes n n, e B uma matriz simtrica. Dadas as afirmaes: (I) AB + BAt simtrica. (II) (A + At + B) simtrica. (III) ABAt simtrica. temos que:

(ITA - 2001 - 1a Fase) Considere a matriz A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A :

(ITA - 2001 - 1a Fase) Sendoeos ngulos agudos de um tringulo retngulo, e sabendo que, ento igual a:

(ITA - 2001 - 1a Fase) O raio da base de um cone circular reto igual mdia aritmtica da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone 128 m3, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:

(ITA - 2001 - 1a Fase) De dois polgonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Ento, a soma total dos nmeros de vrtices e de diagonais dos dois polgonos igual a:

(ITA - 2001 - 1a Fase) Seja o ponto A = (r, 0), r 0. O lugar geomtrico dos pontos P=(x, y) tais que de 3r2 a diferena entre o quadrado da distncia de P a A e o dobro do quadrado da distncia de P reta y = -r, :

(ITA - 2001 - 1a Fase) Sejam X, Y e Z subconjuntos prprios de IR, no vazios. Com respeito s afirmaes: X{[Y(XY)C][X(XCYC)C]} = X Se Z X, ento {(ZY)(X(ZCY))} = XY. Se (XY)C Z, ento ZCX. Temos que:

(ITA - 2001 - 1a Fase) Se tal que para todo, e, ento a desigualdade vlida para qualquer n = 1,2,3,... e 0 1 :