Questões de Matemática - FUVEST 2002 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2002 - 1a fase) Na figura abaixo, o quadriltero ABCD est inscrito numa semi-circunferncia de centro A e raio AB = AC =AD = R. A diagonal AC forma com os lados BC e AD ngulos e , respectivamente. Logo, a rea do quadriltero ABCD :

(FUVEST - 2002 - 1a fase) Se (x, y) soluo do sistema ento igual a:

(FUVEST - 2002 - 1a fase) Na figura a seguir, os tringulos ABC e DCE so equilteros de lado ℓ, comB, C e E colineares. Seja F a interseco de BD com AC. Ento, a rea do tringulo BCF :

(FUVEST - 2002 - 1a fase) Se (x, y) soluo do sistema pode-se afirmar que:

(FUVEST - 2002 - 1a fase) A figura abaixo representa uma pirmide de base triangular ABC e vrtice V. Sabe-se que ABC e ABV so tringulos equilteros de lado e que M o ponto mdio do segmento AB. Se a medida do ngulo 60, ento o volume da pirmide :

(FUVEST - 2002 - 1a fase) O mdulo de um nmero real |x| definido por |x|=x, se x 0, e |x|= -x, se x 0. Das alternativas a seguir, a que melhor representa o grfico da funo

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centmetros. A sala retangular, de lados 2m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais so os possveis valores do lado das lajotas?

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo levar uma pea da casa inferior esquerda (casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta pea deve moverse, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente direita. Se apenas uma destas casas existir, a pea ir mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possveis para completar o trajeto so (1, 1) (1, 2) (2, 2) (2, 3) (3, 3) (3, 4) (4, 4) e (1, 1) (2, 1) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (4, 3) (4, 4). a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto? b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas opes de movimento, lana-se uma moeda no viciada; se der cara, a pea move-se para a casa direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) ter uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que tm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)As razes do polinmio p(x) = x3- 3x2+ m, onde m um nmero real, esto em progresso aritmtica. Determine a) o valor de m; b) as razes desse polinmio.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Determine as solues da equao (2 cos2x + 3 sen x)(cos2 x - sen2 x) = 0que esto no intervalo [0,2] .

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Um bloco retangular (isto , um paraleleppedo reto-retngulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura cm , com de seu volume cheio de gua, est inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ngulo de 30 com o solo (ver seo lateral abaixo). Determine a altura h do nvel da gua em relao ao solo.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Sejam A = (0,0), B = (8,0) e C = (1,3) os vrtices de um tringulo e D = (u,v) um ponto do segmento . Sejam E o ponto de interseco de com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos y e F o ponto de interseco de com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos x. a) Determine, em funo de u, a rea do quadriltero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a rea do quadriltero AEDF mxima.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)O tringulo retngulo ABC , cujos catetos e medem 1 e , respectivamente, dobrado de tal forma que o vrtice C coincida com o ponto D do lado . Seja o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que reto, determine a) o comprimento dos segmentos e ; b) a rea do tringulo CMN .

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)Na figura abaixo, as circunferncias C1 e C2, de centros O1 e O2, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r tangente a C1 e C2; a reta s passa por O1 e O2 e o ngulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C1 4, o de C2 3 e que , calcule: a) a rea do quadriltero O1QO2P; b) sen , onde = Q2P.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) So dados, na pgina ao lado, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A vrtice de um paralelogramo ABCD; o lado est na reta s; M o ponto mdio do lado e o ngulo CB tem medida 30. Usando rgua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construo.