(FUVEST 2020 - 2 fase)Em janeiro de 2019, a sonda

(FUVEST 2020 - 2 fase)

Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang'e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar.

Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto P, localizado a 2/3 \(d_{TL}\) do centro da Terra e a 1/3 \(d_{TL}\) do centro da Lua, sendo \(d_{TL}\) a distância entre os centros da Terra e da Lua.

a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão \(F_{T}/F_{L}\) entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.

Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua (\(R_{L}\)), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,

b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional G, da massa da Lua \(M_{L}\) e do raio da Lua \(R_{L}\);

c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para 0,5 \(R_{L}\). Expresse seu resultado em termos de G, \(R_{L}\),\(M_{L}\) e da massa da sonda \(m_{S}\).

Note e adote: O módulo da força gravitacional entre dois objetos de massas M e m separados por uma distância d é dado por  \(F = GMm/d^{2}\).

A energia potencial gravitacional correspondente é dada por  \(U = - GMm/d\)

Assuma a distância da Terra à Lua como sendo constante.