(IME - 2008/2009)Uma amostra de massa 1g de determ

(IME - 2008/2009) Uma amostra de massa 1g de determinado elemento radioativo \(_{z} ^{100}Q\) (meia-vida 23,0 anos) decai, por meio de uma emissão alfa, gerando o elemento R (meia-vida 34,5 anos). Este, por sua vez, emite uma partícula beta, dando origem ao elemento estável S.

Sabe-se que as frações molares dos elementos Q e S são funções do tempo de decaimento, expressas, respectivamente, por:

\(x_{Q} = e^{-l_{1}t}\)                                        \(x_{s} = 1 - \frac{k_{2}}{k_{2} - k_{2}} e^{-k_{1}t} - \frac{k_{1}}{k_{1} - k_{2}}e^{-k_{2}t}\)

onde k₁ e k₂ são as constantes de velocidade da primeira e da segunda reação de decaimento, respectivamente.

Sabendo que o máximo de uma função da forma \(f(t) = e^{at} - e^{bt}, \ b<a <0, \ t>0\), é obtido quando \(ae^{at} - be^{bt} =0\), determine a máxima quantidade, em massa, que é atingida pelo elemento R.