Questões - IME 2012 | Gabarito e resoluções

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere , com a e b nmeros reais positivos. Determine o valor de m, nmero real, para que a equao tenha trs razes reais em progresso aritmtica.

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere o decaimento radioativo do 24Na como um processo cintico de 1a ordem, conforme mostrado no grfico abaixo. Para este radioistopo, determine: a) a constante de decaimento, k; e b) o tempo de meia-vida, em horas.

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. 5 Bem distante da ndia, nas Amricas, por volta dos sculos IV e III a.C., os maias tambm deduziram uma representao para o nada. O sistema de numerao deles era composto por pontos e traos, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notaes para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os nmeros. A segunda notao, simblica, remetia a um dos calendrios dos maias. O conceito do vazio era to significativo entre eles que havia uma divindade especfica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores desse nmero no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princpio do zero, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp. 6 E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanos na geometria e na lgica, os gregos jamais conceberam uma representao do vazio, que, para eles, era um conceito at mesmo antiesttico. No fazia sentido existir vazio num mundo to bem organizado e lgico seria o caos, um fator de desordem. (Os filsofos pr-socrticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partculas, mas a ideia no vingou.) Aristteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vcuo. 7 Conceber o conceito do zero exigiu uma abstrao muito grande, diz o historiador da matemtica Ubiratan DAmbrosio, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, h cerca de 5.000 anos, fazia associaes simples a partir de situaes concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais, diz o matemtico Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses nmeros com smbolos e fazer contas com eles. 8 Os babilnios, que viveram na Mesopotmia (onde hoje o Iraque) por volta do ano 2.500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noo de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de sistema de numerao posicional. Apesar do nome comprido, a ideia simples. Nesse sistema, os algarismos tm valor pela posio que ocupam, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o nmero 222 o valor do 2 depende da posio em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egpcios e os gregos, no usavam esse sistema continuavam a atribuir a cada nmero um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemtica do zero. 9 O sistema posicional facilitou, e muito, os clculos dos babilnios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em nmeros que apresentavam uma posio vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, no h nmero na casa das dezenas. Se voc no indicasse essa ausncia com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confuso.) O que, ento, os babilnios fizeram? Como ainda no tinham o zero, deixaram um espao vazio separando os nmeros, a fim de indicar que naquela coluna do meio no havia nenhum algarismo (era como se escrevssemos 4_1). O palco para a estreia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confuso na hora de copiar os nmeros de uma tbua de barro para outra, os babilnios passaram a separar os nmeros com alguns sinais especficos. Os babilnios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta, diz Ubiratan. 10 Perceba como um problema prtico a necessidade de separar nmeros e apontar colunas vazias levou a uma tentativa de sinalizar o no-existente. Trata-se de uma abstrao bastante sofisticada representar a inexistncia de medida, o vazio enquanto nmero, ou seja, o zero, diz a historiadora da cincia Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. Temos apenas projees culturais a respeito do que abstrato, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situao imaginria, cada povo busca as referncias que tem mo. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava aquilo que ficou para trs, como os pingos de chuva depois de uma tempestade.Trata-se de um exerccio tremendo de abstrao. Voc j parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio? 11 Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. 12 Por isso, Kaplan considera o zero um nmero subversivo. Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez j demos por certo: da diviso aritmtica natureza de movimento, do clculo possibilidade de algo surgir do nada, afirma. Tornou-se fundamental para a cincia, da computao astronomia, da qumica fsica. O clculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria invivel sem o zero, diz Walter Maciel. Nesse tipo de clculo, para determinar a velocidade instantnea de um carro, por exemplo, voc deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. ( estranho calcular quanto o carro se deslocou em zero segundos, mas assim que funciona.) O clculo integral est na base de tudo o que a cincia construiu nos ltimos 200 anos, diz Maciel. 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/. Acesso em 15 mar. 2012 Analise as assertivas a seguir a respeito do texto I e marque a alternativa correta: I. A personificao do zero d um carter ldico histria narrada. II. A origem da palavra zero remete a ideias tais como: vazio, esterilidade e morte. III. Os indianos foram os primeiros a usar matematicamente o conceito do zero.

[IME- 2012/2013- 2fase] Um corpo de 4 kg est preso a um fio e descreve um movimento circular em um plano perpendicular ao solo. Na posio indicada na figura, ele sofre a ao de uma fora, no plano xy, perpendicular ao seu movimento que o libera do fio, sendo o impulso nesta direo igual a. Determine: a) a variao do vetor momento linear entre o instante em que o corpo liberado do fio e o instante que atinge o solo; b) a coordenada x do ponto onde o corpo atinge o solo. Dados: raio do movimento circular: 6,4 m; velocidade do corpo preso no fio no ponto mais alto: 6 m/s; acelerao da gravidade: 10 m/s.

[IME - 2012/2013 - 2a fase] PRODUO DE TEXTO (REDAO) Produo de texto dissertativo-argumentativo. Leia atentamente o fragmento extrado do texto I: Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. Considerando o trecho acima, reflita sobre a divulgao do conhecimento como meio de transformao social. A partir de sua reflexo, elabore um texto dissertativo-argumentativo em que voc discorra sobre as transformaes sociais ocorridas a partir do investimento em educao. Utilize informaes e argumentos que deem consistncia a seu ponto de vista. Instrues: 1. No copie trechos dos textos nem do fragmento de texto apresentado. 2. Redija seu texto em prosa, de acordo com a norma culta escrita da lngua portuguesa. 3. Redija um texto de 25 (mnimo) a 35 linhas (mximo). 4. Atribua um ttulo a seu texto. Essa produo de texto DEVER ser realizada no CADERNO DE SOLUES.

[IME - 2012/2013 - 1 fase] Os polinmios P(x) = x3 + ax2 + 18 e Q(x) = x3 + bx + 12 possuem duas razes comuns. Sabendo que a e b so nmeros reais, pode-se afirmar que satisfazem a equao

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expresso.

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. 5 Bem distante da ndia, nas Amricas, por volta dos sculos IV e III a.C., os maias tambm deduziram uma representao para o nada. O sistema de numerao deles era composto por pontos e traos, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notaes para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os nmeros. A segunda notao, simblica, remetia a um dos calendrios dos maias. O conceito do vazio era to significativo entre eles que havia uma divindade especfica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores desse nmero no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princpio do zero, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp. 6 E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanos na geometria e na lgica, os gregos jamais conceberam uma representao do vazio, que, para eles, era um conceito at mesmo antiesttico. No fazia sentido existir vazio num mundo to bem organizado e lgico seria o caos, um fator de desordem. (Os filsofos pr-socrticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partculas, mas a ideia no vingou.) Aristteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vcuo. 7 Conceber o conceito do zero exigiu uma abstrao muito grande, diz o historiador da matemtica Ubiratan DAmbrosio, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, h cerca de 5.000 anos, fazia associaes simples a partir de situaes concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais, diz o matemtico Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses nmeros com smbolos e fazer contas com eles. 8 Os babilnios, que viveram na Mesopotmia (onde hoje o Iraque) por volta do ano 2.500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noo de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de sistema de numerao posicional. Apesar do nome comprido, a ideia simples. Nesse sistema, os algarismos tm valor pela posio que ocupam, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o nmero 222 o valor do 2 depende da posio em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egpcios e os gregos, no usavam esse sistema continuavam a atribuir a cada nmero um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemtica do zero. 9 O sistema posicional facilitou, e muito, os clculos dos babilnios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em nmeros que apresentavam uma posio vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, no h nmero na casa das dezenas. Se voc no indicasse essa ausncia com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confuso.) O que, ento, os babilnios fizeram? Como ainda no tinham o zero, deixaram um espao vazio separando os nmeros, a fim de indicar que naquela coluna do meio no havia nenhum algarismo (era como se escrevssemos 4_1). O palco para a estreia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confuso na hora de copiar os nmeros de uma tbua de barro para outra, os babilnios passaram a separar os nmeros com alguns sinais especficos. Os babilnios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta, diz Ubiratan. 10 Perceba como um problema prtico a necessidade de separar nmeros e apontar colunas vazias levou a uma tentativa de sinalizar o no-existente. Trata-se de uma abstrao bastante sofisticada representar a inexistncia de medida, o vazio enquanto nmero, ou seja, o zero, diz a historiadora da cincia Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. Temos apenas projees culturais a respeito do que abstrato, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situao imaginria, cada povo busca as referncias que tem mo. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava aquilo que ficou para trs, como os pingos de chuva depois de uma tempestade.Trata-se de um exerccio tremendo de abstrao. Voc j parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio? 11 Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. 12 Por isso, Kaplan considera o zero um nmero subversivo. Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez j demos por certo: da diviso aritmtica natureza de movimento, do clculo possibilidade de algo surgir do nada, afirma. Tornou-se fundamental para a cincia, da computao astronomia, da qumica fsica. O clculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria invivel sem o zero, diz Walter Maciel. Nesse tipo de clculo, para determinar a velocidade instantnea de um carro, por exemplo, voc deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. ( estranho calcular quanto o carro se deslocou em zero segundos, mas assim que funciona.) O clculo integral est na base de tudo o que a cincia construiu nos ltimos 200 anos, diz Maciel. 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/. Acesso em 15 mar. 2012 Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. (3 pargrafo, texto I) A ideia contida no trecho acima, sobretudo na palavra em destaque, encontra-se nos fragmentos abaixo, referentes ao texto I, exceto em:

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere 40 mLde uma soluo 0,015 mol/L de Ag+, em gua, contida em um recipiente. Titula-se essa soluo com KCl 0,010 mol/L, a uma temperatura de 25C, at que seja atingido o ponto de equivalncia. Um dispositivo montado, de modo que um eletrodo de prata seja mergulhado nessa soluo e o seu potencial medido em relao a um eletrodo-padro de hidrognio (EPH). Calcule: a) o volume de KCl necessrio para atingir o ponto de equivalncia; b) o potencial quando a concentrao de Ag+na soluo for equivalente a e5molar, onde e representa o nmero de Neper; e c) o potencial no ponto de equivalncia. Dados: Constante de Faraday = 96.500 C.mol 1 R = 1,987 cal. mol 1 . K 1 = 8,314 J.mol 1 .K 1 = 0,082 atm.L.mol 1 .K 1 Potencial-padro de reduo: Ered (Ag+│Ag) = +0,80 V Constante do produto de solubilidade (Kps) do cloreto de prata: Kps = 1,8 x 1010

[IME- 2012/2013- 2fase] Uma partcula de carga +Q e massa m move-se dentro de um tnel estreito no plano xy, sem atrito, sujeita fora provocada pelo campo eltrico (E,0), seguindo a trajetria conforme apresentado na figura acima. Sabe-se que: - a partcula entra no tnel com velocidade (v,0) no ponto de coordenadas (0,0); - a trajetria da partcula forada pelo tnel um quarto de circunferncia de raio R; - no h influncia da fora da gravidade. Ao passar por um ponto genrico dentro do tnel, determine, em funo da abscissa x: a) o mdulo da velocidade da partcula; b) as componentes vx e vy do vetor velocidade da partcula; c) o mdulo da acelerao tangencial da partcula; d) o mdulo da reao normal exercida pela parede do tnel sobre a partcula; e) o raio instantneo da trajetria da partcula imediatamente aps deixar o tnel.

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere a, b e c nmeros inteirose 2 . Determine o(s) valor(es) de,e, que satisfaam o sistema de equaes.

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere a equao. A soma dos quadrados das solues reais dessa equao est contida no intervalo.

[IME- 2012/2013- 2fase] Escreva as frmulas das substncias estveis, nas CNTP, formadas apenas pelos elementos , e , especificando os tipos de ligaes qumicas envolvidas.

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. 5 Bem distante da ndia, nas Amricas, por volta dos sculos IV e III a.C., os maias tambm deduziram uma representao para o nada. O sistema de numerao deles era composto por pontos e traos, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notaes para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os nmeros. A segunda notao, simblica, remetia a um dos calendrios dos maias. O conceito do vazio era to significativo entre eles que havia uma divindade especfica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores desse nmero no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princpio do zero, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp. 6 E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanos na geometria e na lgica, os gregos jamais conceberam uma representao do vazio, que, para eles, era um conceito at mesmo antiesttico. No fazia sentido existir vazio num mundo to bem organizado e lgico seria o caos, um fator de desordem. (Os filsofos pr-socrticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partculas, mas a ideia no vingou.) Aristteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vcuo. 7 Conceber o conceito do zero exigiu uma abstrao muito grande, diz o historiador da matemtica Ubiratan DAmbrosio, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, h cerca de 5.000 anos, fazia associaes simples a partir de situaes concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais, diz o matemtico Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses nmeros com smbolos e fazer contas com eles. 8 Os babilnios, que viveram na Mesopotmia (onde hoje o Iraque) por volta do ano 2.500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noo de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de sistema de numerao posicional. Apesar do nome comprido, a ideia simples. Nesse sistema, os algarismos tm valor pela posio que ocupam, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o nmero 222 o valor do 2 depende da posio em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egpcios e os gregos, no usavam esse sistema continuavam a atribuir a cada nmero um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemtica do zero. 9 O sistema posicional facilitou, e muito, os clculos dos babilnios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em nmeros que apresentavam uma posio vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, no h nmero na casa das dezenas. Se voc no indicasse essa ausncia com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confuso.) O que, ento, os babilnios fizeram? Como ainda no tinham o zero, deixaram um espao vazio separando os nmeros, a fim de indicar que naquela coluna do meio no havia nenhum algarismo (era como se escrevssemos 4_1). O palco para a estreia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confuso na hora de copiar os nmeros de uma tbua de barro para outra, os babilnios passaram a separar os nmeros com alguns sinais especficos. Os babilnios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta, diz Ubiratan. 10 Perceba como um problema prtico a necessidade de separar nmeros e apontar colunas vazias levou a uma tentativa de sinalizar o no-existente. Trata-se de uma abstrao bastante sofisticada representar a inexistncia de medida, o vazio enquanto nmero, ou seja, o zero, diz a historiadora da cincia Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. Temos apenas projees culturais a respeito do que abstrato, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situao imaginria, cada povo busca as referncias que tem mo. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava aquilo que ficou para trs, como os pingos de chuva depois de uma tempestade.Trata-se de um exerccio tremendo de abstrao. Voc j parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio? 11 Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. 12 Por isso, Kaplan considera o zero um nmero subversivo. Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez j demos por certo: da diviso aritmtica natureza de movimento, do clculo possibilidade de algo surgir do nada, afirma. Tornou-se fundamental para a cincia, da computao astronomia, da qumica fsica. O clculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria invivel sem o zero, diz Walter Maciel. Nesse tipo de clculo, para determinar a velocidade instantnea de um carro, por exemplo, voc deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. ( estranho calcular quanto o carro se deslocou em zero segundos, mas assim que funciona.) O clculo integral est na base de tudo o que a cincia construiu nos ltimos 200 anos, diz Maciel. 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/. Acesso em 15 mar. 2012 Segundo o texto I, O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no existente, nulo (3 pargrafo). Marque a alternativa que apresente uma ideia distinta daquela a que se associou o substantivo zero ao longo dos tempos:

[IME- 2012/2013- 2fase] Uma esfera de gelo de raio R flutua parcialmente imersa em um copo com gua, como mostra a figura acima. Com a finalidade de iluminar uma bolha de ar, tambm esfrica, localizada no centro da esfera de gelo, utilizou-se um feixe luminoso de seo reta circular de rea m2 que incide verticalmente na esfera. Considerando que os raios mais externos do feixe refratado tangenciam a bolha conforme a figura, determine a massa especfica do gelo. Dados: ndice de refrao do ar: 1,0 ndice de refrao do gelo: 1,3 Massa especfica do ar: 1,0 kg/m3 Massa especfica da gua: 103 kg/m3 Volume da calota esfrica: v = 2 .10-2 R3