Questões - IME 2012 | Gabarito e resoluções

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. 5 Bem distante da ndia, nas Amricas, por volta dos sculos IV e III a.C., os maias tambm deduziram uma representao para o nada. O sistema de numerao deles era composto por pontos e traos, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notaes para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os nmeros. A segunda notao, simblica, remetia a um dos calendrios dos maias. O conceito do vazio era to significativo entre eles que havia uma divindade especfica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores desse nmero no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princpio do zero, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp. 6 E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanos na geometria e na lgica, os gregos jamais conceberam uma representao do vazio, que, para eles, era um conceito at mesmo antiesttico. No fazia sentido existir vazio num mundo to bem organizado e lgico seria o caos, um fator de desordem. (Os filsofos pr-socrticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partculas, mas a ideia no vingou.) Aristteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vcuo. 7 Conceber o conceito do zero exigiu uma abstrao muito grande, diz o historiador da matemtica Ubiratan DAmbrosio, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, h cerca de 5.000 anos, fazia associaes simples a partir de situaes concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais, diz o matemtico Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses nmeros com smbolos e fazer contas com eles. 8 Os babilnios, que viveram na Mesopotmia (onde hoje o Iraque) por volta do ano 2.500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noo de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de sistema de numerao posicional. Apesar do nome comprido, a ideia simples. Nesse sistema, os algarismos tm valor pela posio que ocupam, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o nmero 222 o valor do 2 depende da posio em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egpcios e os gregos, no usavam esse sistema continuavam a atribuir a cada nmero um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemtica do zero. 9 O sistema posicional facilitou, e muito, os clculos dos babilnios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em nmeros que apresentavam uma posio vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, no h nmero na casa das dezenas. Se voc no indicasse essa ausncia com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confuso.) O que, ento, os babilnios fizeram? Como ainda no tinham o zero, deixaram um espao vazio separando os nmeros, a fim de indicar que naquela coluna do meio no havia nenhum algarismo (era como se escrevssemos 4_1). O palco para a estreia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confuso na hora de copiar os nmeros de uma tbua de barro para outra, os babilnios passaram a separar os nmeros com alguns sinais especficos. Os babilnios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta, diz Ubiratan. 10 Perceba como um problema prtico a necessidade de separar nmeros e apontar colunas vazias levou a uma tentativa de sinalizar o no-existente. Trata-se de uma abstrao bastante sofisticada representar a inexistncia de medida, o vazio enquanto nmero, ou seja, o zero, diz a historiadora da cincia Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. Temos apenas projees culturais a respeito do que abstrato, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situao imaginria, cada povo busca as referncias que tem mo. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava aquilo que ficou para trs, como os pingos de chuva depois de uma tempestade.Trata-se de um exerccio tremendo de abstrao. Voc j parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio? 11 Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. 12 Por isso, Kaplan considera o zero um nmero subversivo. Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez j demos por certo: da diviso aritmtica natureza de movimento, do clculo possibilidade de algo surgir do nada, afirma. Tornou-se fundamental para a cincia, da computao astronomia, da qumica fsica. O clculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria invivel sem o zero, diz Walter Maciel. Nesse tipo de clculo, para determinar a velocidade instantnea de um carro, por exemplo, voc deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. ( estranho calcular quanto o carro se deslocou em zero segundos, mas assim que funciona.) O clculo integral est na base de tudo o que a cincia construiu nos ltimos 200 anos, diz Maciel. 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/.Acesso em 15 mar. 2012 Leia atentamente cada uma das afirmativas relacionadas ao texto I, a seguir, e marque a alternativa correta: I. Tomando-se a totalidade do texto, possvel dizer que seu autor usa como estratgia de apresentao do assunto em pauta um modelo teatralizado e que usa tambm recursos da oralidade. II. A afirmativa Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. retrata uma academia fechada em si mesma, pouco interessada na difuso do conhecimento. III. As constataes da histria da matemtica do conta de que as civilizaes ocidentais, como a grega, foram precursoras na abstrao necessria para que se conceba o conceito de zero.

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. 5 Bem distante da ndia, nas Amricas, por volta dos sculos IV e III a.C., os maias tambm deduziram uma representao para o nada. O sistema de numerao deles era composto por pontos e traos, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notaes para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os nmeros. A segunda notao, simblica, remetia a um dos calendrios dos maias. O conceito do vazio era to significativo entre eles que havia uma divindade especfica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores desse nmero no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princpio do zero, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp. 6 E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanos na geometria e na lgica, os gregos jamais conceberam uma representao do vazio, que, para eles, era um conceito at mesmo antiesttico. No fazia sentido existir vazio num mundo to bem organizado e lgico seria o caos, um fator de desordem. (Os filsofos pr-socrticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partculas, mas a ideia no vingou.) Aristteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vcuo. 7 Conceber o conceito do zero exigiu uma abstrao muito grande, diz o historiador da matemtica Ubiratan DAmbrosio, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, h cerca de 5.000 anos, fazia associaes simples a partir de situaes concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais, diz o matemtico Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses nmeros com smbolos e fazer contas com eles. 8 Os babilnios, que viveram na Mesopotmia (onde hoje o Iraque) por volta do ano 2.500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noo de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de sistema de numerao posicional. Apesar do nome comprido, a ideia simples. Nesse sistema, os algarismos tm valor pela posio que ocupam, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o nmero 222 o valor do 2 depende da posio em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egpcios e os gregos, no usavam esse sistema continuavam a atribuir a cada nmero um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemtica do zero. 9 O sistema posicional facilitou, e muito, os clculos dos babilnios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em nmeros que apresentavam uma posio vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, no h nmero na casa das dezenas. Se voc no indicasse essa ausncia com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confuso.) O que, ento, os babilnios fizeram? Como ainda no tinham o zero, deixaram um espao vazio separando os nmeros, a fim de indicar que naquela coluna do meio no havia nenhum algarismo (era como se escrevssemos 4_1). O palco para a estreia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confuso na hora de copiar os nmeros de uma tbua de barro para outra, os babilnios passaram a separar os nmeros com alguns sinais especficos. Os babilnios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta, diz Ubiratan. 10 Perceba como um problema prtico a necessidade de separar nmeros e apontar colunas vazias levou a uma tentativa de sinalizar o no-existente. Trata-se de uma abstrao bastante sofisticada representar a inexistncia de medida, o vazio enquanto nmero, ou seja, o zero, diz a historiadora da cincia Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. Temos apenas projees culturais a respeito do que abstrato, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situao imaginria, cada povo busca as referncias que tem mo. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava aquilo que ficou para trs, como os pingos de chuva depois de uma tempestade.Trata-se de um exerccio tremendo de abstrao. Voc j parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio? 11 Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. 12 Por isso, Kaplan considera o zero um nmero subversivo. Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez j demos por certo: da diviso aritmtica natureza de movimento, do clculo possibilidade de algo surgir do nada, afirma. Tornou-se fundamental para a cincia, da computao astronomia, da qumica fsica. O clculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria invivel sem o zero, diz Walter Maciel. Nesse tipo de clculo, para determinar a velocidade instantnea de um carro, por exemplo, voc deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. ( estranho calcular quanto o carro se deslocou em zero segundos, mas assim que funciona.) O clculo integral est na base de tudo o que a cincia construiu nos ltimos 200 anos, diz Maciel. 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/. Acesso em 15 mar. 2012 Indique a alternativa em que o nexo coesivo destacado tem sentido diferente dos demais.

(IME - 2012/2013) Entre os nmeros 3 e 192 insere-se igual nmero de termos de uma progresso aritmtica e de uma progresso geomtrica com razesr e q, respectivamente, onde r e q so nmeros inteiros. O nmero 3 e o nmero 192 participam destas duas progresses. Sabe-se que o terceiro termo de ,em potncias crescentes de , .O segundo termo da progresso aritmtica

[IME- 2012/2013- 2fase] A Figura 1a apresenta um circuito composto por uma fonte de tenso alimentando um elemento desconhecido, denominado CAIXA PRETA, em paralelo com uma resistncia de 0,5As formas de onda da tenso fornecida pela fonte e da potncia solicitada pelo circuito so apresentadas nas figuras 1b e 1c, respectivamente. Pede-se: a) o esboo dos grficos das correntes iT(t), i1(t) e i2(t); b) o esboo do grfico da potncia dissipada no resistor de0,5 c) a energia consumida pelo circuito no intervalo de tempo entre 0 e 5 s.

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere a seguinte definio: dois pontos P e Q, de coordenadas e , respectivamente, possuem coordenadas em comum se e somente se Dado o conjunto S = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}. Determine quantas funes bijetoras f: S S existem, tais que para todos os pontos P e Q pertencentes ao conjunto S, f(P) e f(Q) possuem coordenadas em comum se e somente se P e Q possuem coordenadas em comum.

[IME- 2012/2013- 2fase] Dentre os produtos da reao de hidrlise total do composto abaixo, um reage com bromo em tetracloreto de carbono a -5Cpara gerar, como produto, uma mistura de dois ismeros; outro reage com cido ntrico em presena de cido sulfrico, produzindo cido pcrico. Com base nessas informaes, determine as estruturas dos produtos de todas as reaes mencionadas.

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. 5 Bem distante da ndia, nas Amricas, por volta dos sculos IV e III a.C., os maias tambm deduziram uma representao para o nada. O sistema de numerao deles era composto por pontos e traos, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notaes para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os nmeros. A segunda notao, simblica, remetia a um dos calendrios dos maias. O conceito do vazio era to significativo entre eles que havia uma divindade especfica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores desse nmero no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princpio do zero, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp. 6 E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanos na geometria e na lgica, os gregos jamais conceberam uma representao do vazio, que, para eles, era um conceito at mesmo antiesttico. No fazia sentido existir vazio num mundo to bem organizado e lgico seria o caos, um fator de desordem. (Os filsofos pr-socrticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partculas, mas a ideia no vingou.) Aristteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vcuo. 7 Conceber o conceito do zero exigiu uma abstrao muito grande, diz o historiador da matemtica Ubiratan DAmbrosio, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, h cerca de 5.000 anos, fazia associaes simples a partir de situaes concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais, diz o matemtico Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses nmeros com smbolos e fazer contas com eles. 8 Os babilnios, que viveram na Mesopotmia (onde hoje o Iraque) por volta do ano 2.500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noo de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de sistema de numerao posicional. Apesar do nome comprido, a ideia simples. Nesse sistema, os algarismos tm valor pela posio que ocupam, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o nmero 222 o valor do 2 depende da posio em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egpcios e os gregos, no usavam esse sistema continuavam a atribuir a cada nmero um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemtica do zero. 9 O sistema posicional facilitou, e muito, os clculos dos babilnios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em nmeros que apresentavam uma posio vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, no h nmero na casa das dezenas. Se voc no indicasse essa ausncia com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confuso.) O que, ento, os babilnios fizeram? Como ainda no tinham o zero, deixaram um espao vazio separando os nmeros, a fim de indicar que naquela coluna do meio no havia nenhum algarismo (era como se escrevssemos 4_1). O palco para a estreia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confuso na hora de copiar os nmeros de uma tbua de barro para outra, os babilnios passaram a separar os nmeros com alguns sinais especficos. Os babilnios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta, diz Ubiratan. 10 Perceba como um problema prtico a necessidade de separar nmeros e apontar colunas vazias levou a uma tentativa de sinalizar o no-existente. Trata-se de uma abstrao bastante sofisticada representar a inexistncia de medida, o vazio enquanto nmero, ou seja, o zero, diz a historiadora da cincia Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. Temos apenas projees culturais a respeito do que abstrato, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situao imaginria, cada povo busca as referncias que tem mo. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava aquilo que ficou para trs, como os pingos de chuva depois de uma tempestade.Trata-se de um exerccio tremendo de abstrao. Voc j parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio? 11 Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. 12 Por isso, Kaplan considera o zero um nmero subversivo. Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez j demos por certo: da diviso aritmtica natureza de movimento, do clculo possibilidade de algo surgir do nada, afirma. Tornou-se fundamental para a cincia, da computao astronomia, da qumica fsica. O clculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria invivel sem o zero, diz Walter Maciel. Nesse tipo de clculo, para determinar a velocidade instantnea de um carro, por exemplo, voc deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. ( estranho calcular quanto o carro se deslocou em zero segundos, mas assim que funciona.) O clculo integral est na base de tudo o que a cincia construiu nos ltimos 200 anos, diz Maciel. 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/.Acesso em 15 mar. 2012 Os verbos tinham e servia (5 pargrafo, texto I) referem-se a:

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Um menino, na cidade do Rio de janeiro, lana uma moeda. Ele andar 1 m para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distncia de sua posio inicial, aps 9 lanamentos da moeda,

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posio inicial desta haste horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, at que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equao do lugar geomtrico, no primeiro quadrante, traado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/.Acesso em 15 mar. 2012 A opo que exige o mesmo uso e grafia da expresso se no em Se no houvesse o silncio (Verso 2, texto II)

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. 5 Bem distante da ndia, nas Amricas, por volta dos sculos IV e III a.C., os maias tambm deduziram uma representao para o nada. O sistema de numerao deles era composto por pontos e traos, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notaes para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os nmeros. A segunda notao, simblica, remetia a um dos calendrios dos maias. O conceito do vazio era to significativo entre eles que havia uma divindade especfica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. Os maias foram os inventores desse nmero no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princpio do zero, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp. 6 E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanos na geometria e na lgica, os gregos jamais conceberam uma representao do vazio, que, para eles, era um conceito at mesmo antiesttico. No fazia sentido existir vazio num mundo to bem organizado e lgico seria o caos, um fator de desordem. (Os filsofos pr-socrticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partculas, mas a ideia no vingou.) Aristteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vcuo. 7 Conceber o conceito do zero exigiu uma abstrao muito grande, diz o historiador da matemtica Ubiratan DAmbrosio, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, h cerca de 5.000 anos, fazia associaes simples a partir de situaes concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais, diz o matemtico Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses nmeros com smbolos e fazer contas com eles. 8 Os babilnios, que viveram na Mesopotmia (onde hoje o Iraque) por volta do ano 2.500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noo de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de sistema de numerao posicional. Apesar do nome comprido, a ideia simples. Nesse sistema, os algarismos tm valor pela posio que ocupam, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o nmero 222 o valor do 2 depende da posio em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egpcios e os gregos, no usavam esse sistema continuavam a atribuir a cada nmero um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemtica do zero. 9 O sistema posicional facilitou, e muito, os clculos dos babilnios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em nmeros que apresentavam uma posio vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, no h nmero na casa das dezenas. Se voc no indicasse essa ausncia com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confuso.) O que, ento, os babilnios fizeram? Como ainda no tinham o zero, deixaram um espao vazio separando os nmeros, a fim de indicar que naquela coluna do meio no havia nenhum algarismo (era como se escrevssemos 4_1). O palco para a estreia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confuso na hora de copiar os nmeros de uma tbua de barro para outra, os babilnios passaram a separar os nmeros com alguns sinais especficos. Os babilnios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta, diz Ubiratan. 10 Perceba como um problema prtico a necessidade de separar nmeros e apontar colunas vazias levou a uma tentativa de sinalizar o no-existente. Trata-se de uma abstrao bastante sofisticada representar a inexistncia de medida, o vazio enquanto nmero, ou seja, o zero, diz a historiadora da cincia Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. Temos apenas projees culturais a respeito do que abstrato, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situao imaginria, cada povo busca as referncias que tem mo. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava aquilo que ficou para trs, como os pingos de chuva depois de uma tempestade.Trata-se de um exerccio tremendo de abstrao. Voc j parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio? 11 Apesar de ser atraente, o zero no foi recebido de braos abertos pela Europa, quando apareceu por l, levado pelos rabes. surpreendente ver quanta resistncia a noo de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, supersties sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutncia em pensar, diz o matemtico americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recm-lanado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemtica na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Mdia. Os povos medievais o ignoravam solenemente. Com o zero, qualquer um poderia fazer contas, diz Ana Maria. Os matemticos da poca achavam que popularizar o clculo era o mesmo que jogar prolas aos porcos. Seria uma revoluo. 12 Por isso, Kaplan considera o zero um nmero subversivo. Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez j demos por certo: da diviso aritmtica natureza de movimento, do clculo possibilidade de algo surgir do nada, afirma. Tornou-se fundamental para a cincia, da computao astronomia, da qumica fsica. O clculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria invivel sem o zero, diz Walter Maciel. Nesse tipo de clculo, para determinar a velocidade instantnea de um carro, por exemplo, voc deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. ( estranho calcular quanto o carro se deslocou em zero segundos, mas assim que funciona.) O clculo integral est na base de tudo o que a cincia construiu nos ltimos 200 anos, diz Maciel. 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) Texto II CERTAS COISAS (Lulu Santos) (1) No existiria som (2) Se no houvesse o silncio (3) No haveria luz (4) Se no fosse a escurido (5) A vida mesmo assim, (6) Dia e noite, no e sim... (7) Cada voz que canta o amor no diz (8) Tudo o que quer dizer, (9) Tudo o que cala fala (10) Mais alto ao corao. (11) Silenciosamente eu te falo com paixo... (12) Eu te amo calado, (13) Como quem ouve uma sinfonia (14) De silncios e de luz. (15) Ns somos medo e desejo, (16) Somos feitos de silncio e som, (17) Tem certas coisas que eu no sei dizer... (18) A vida mesmo assim, (19) Dia e noite, no e sim... (20) Cada voz que canta o amor no diz (21) Tudo o que quer dizer, (22) Tudo o que cala fala (23) Mais alto ao corao. (24) Silenciosamente eu te falo com paixo... (25) Eu te amo calado, (26) Como quem ouve uma sinfonia (27) De silncios e de luz, (28) Ns somos medo e desejo, (29) Somos feitos de silncio e som, (30) Tem certas coisas que eu no sei dizer... Disponvel em http://letras.terra.com.br/lulu-santos/35063/. Acesso em 15 mar. 2012 Observe, nos fragmentos abaixo, os termos destacados. Assinale a opo em que a funo sinttica do termo em destaque diferente das demais.

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere uma pirmide regular de base hexagonal e altura h. Uma esfera de raio R est inscrita nesta pirmide. O volume desta pirmide :

(IME - 2012/2013- 2 FASE) Texto I A IMPORTNCIA DO NMERO ZERO A inveno do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade e no s para a matemtica (Maria Fernanda Vomero Abril de 2001) 1As regras que valem para todos os outros no servem para ele. S as obedece como e quando bem entende. Assim fao a diferena, costuma dizer. Mas no nem um pouco egosta. Pelo contrrio. Quanto mais direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1.000. Trata-se de um revolucionrio. Com ar de bonacho, d de ombros quando comparado ao nada. Sou mesmo, diz. Mas isso significa ser tudo. Com vocs, o nmero zero que ganha, nestas pginas, o papel que lhe de direito: o de protagonista de uma odisseia intelectual que mudou o rumo das cincias exatas e trouxe novas reflexes para a histria das ideias. 2 Pode soar como exagero atribuir tal importncia a um nmero aparentemente incuo. s vezes, voc at esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou rao para seus zero cachorrinhos? S fica preocupado quando descobre um zero na conta bancria. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, no sobra nem lembrana daquele nmero gorducho. 3 O smbolo 0 e o nome zero esto relacionados ideia de nenhum, no-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos sculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. O ponto principal o fato de o zero ser e no ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum contedo, diz o astrnomo Walter Maciel, professor da Universidade de So Paulo. Se essa dialtica parece complicada para voc, cidado do sculo XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos sculos antes de Cristo. 4 A cultura indiana antiga j trazia uma noo de vazio bem antes do conceito matemtico de zero. Num dicionrio de snscrito, voc encontra uma explicao bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que shnya, afirma o fsico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de Histria e Teoria da Cincia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shnya significa vazio, deserto, estril. Aplica-se a uma pessoa solitria, sem amigos; a um indivduo indiferente ou insensvel. O termo descreve um sentimento de ausncia, a falta de algo, uma ao sem resultados. Como substantivo, shnya refere-se ao nada, ao vcuo, inexistncia. A partir do sculo VIII d.C., os rabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o smbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto prpria ideia de vazio, nulo, no-existente. E difundiram o termo shnya que, em rabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zfiro, zefro e, por fim, zero. [...] 13 Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas ideias. Falta muito para entendermos a complexidade desse nmero. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstrao. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de histria das religies da Unesp, em Assis, o pensamento filosfico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que no comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotlico (o mundo o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platnico (o mundo um reflexo de essncias imutveis e eternas, que no podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginao e pelo conhecimento). O Ocidente pensa o nada em oposio existncia de Deus: se no h Deus, ento o nada, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausncia, poderia haver a presena de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. s pensar na teoria atmica, desenvolvida no sculo XX: o mundo formado por partculas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover. 14 Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente. 15 Na matemtica, por mais que parea limitado a um ou dois papis, a funo do zero tambm especial como ele mesmo faz questo de mostrar porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo nmero precisa seguir. O zero viabilizou a subtrao de um nmero natural por ele mesmo (1 1 = 0). Multiplicado por um algarismo escolha do fregus, no deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 3 = 0), que no muda seu jeito. Mas no deixa nenhum nmero por mais pomposo que se julgue ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Voc pensa que ele intil? Experimente colocar alguns gmeos meus direita no valor de um cheque para voc ver a diferena, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Da a expresso zero esquerda, que provm da matemtica e indica nulidade ou insignificncia. 16 Mas o zero como voc pde ver decididamente no um zero esquerda. Foi uma surpresa constatar como central a ideia de zero: o nada que gera tudo, diz Kaplan. E mais: h quem diga que o zero parente do infinito, outra abstrao que mudou as bases do pensamento cientfico, religioso e filosfico. Eles so equivalentes e opostos, yin e yang, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a DangerousIdea (Zero: A Biografia de uma Ideia Perigosa), lanado no ano passado nos Estados Unidos. O epteto atribudo ao zero no ttulo ideia perigosa no est ali por acaso. Apesar da rejeio e do exlio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele, afirma Seife. A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa viso sobre o universo e tambm sobre Deus. E influenciou, sorrateiramente, a prpria filosofia. De fato, trata-se de um perigo. Disponvel em http://super.abril.com.br/ciencia/importancia-numero-zero-442058.shtml. Acesso em 14 mar. 2012. (ADAPTADO) A retomada de palavras ou expresses por meio de pronomes so recursos coesivos muito comuns na construo de textos. Assinale o trecho do texto I em que no h ocorrncia desse recurso:

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere a figura abaixo formada por arcos de circunferncia tangentes cujos centros formam um pentgono regular inscritvel em uma circunferncia de raio R. O permetro da figura :

(IME - 2012/2013) Considere os conjuntos A, B, C e D, no vazios, contidos no mesmo conjunto universo U. A simbologia representa o complemento de um conjunto em relao ao conjunto U. Assinale a opo correta: