Questões de Matemática - IME 2013 | Gabarito e resoluções

[IME - 2013/2014 - 1a fase]Qual o menor nmero?

[IME- 2013/2014- 2fase] O polinmio P(x) = x5- 3x4+10x3- 30x2+ 81x - 243possui razes complexas simtricas e uma raiz com valor igual ao mdulo das razes complexas. Determine todas as razes do polinmio.

[IME- 2013/2014- 2fase] Calcule o determinante abaixo, no quale

[IME- 2013/2014- 2fase] Determine o(s) valor(es) de x, inteiro(s) e positivo(s), que satisfaz(em) a equao

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Sejam e . Qual o conjunto dos valores de para o qual e ?

[IME- 2013/2014- 2fase] Resolva a equao

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Sabe-se , em que a base dos logaritmos naturais. O valor de

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos so paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distncia focal igual a e excentricidade igual a . Considere que os pontos A, B, C e D representam as intersees da elipse com as retas de equaes e . A rea do quadriltero ABCD

[IME- 2013/2014- 2fase] Seja BCDABCDum prisma reto de base retangular ABCD. Projeta-se o ponto mdio Mda maior aresta da base sobre a diagonal AC, obtendo-se o ponto P. Em seguida projeta-se o ponto P na face oposta, obtendo-se o ponto N. Sabe-se que . Determine o comprimento da menor aresta da base.

[IME - 2013/2014 - 1a fase]Em um quadriltero ABCD, os ngulose so retos. Considere que e sejam as razes da equao , onde . Qual a verdadeira relao satisfeita por b e c?

[IME- 2013/2014- 2fase] Calcular o valor da expresso abaixo

[IME - 2013/2014 - 1a fase]Sejam uma circunferncia C com centro O e raio R, e uma reta r tangente a C no ponto T. Traa-se o dimetro AB oblquo a r. A projeo de AB sobre r o segmento PQ. Sabendo que a razo entre OQ e o raio R 7/2 , o ngulo, em radianos, entre AB e PQ

[IME- 2013/2014- 2fase] O lado de um tringulo ABC fixo e tem comprimento . O ortocentro Hdo tringulo percorre uma reta paralela reta suporte de e distante /4 da mesma. a) Determine o lugar geomtrico do ponto Aquando Hvaria. b) Determine o valor mnimo da rea do tringulo ABCquando Ae Hesto no mesmo semi-plano definido pela reta suporte de .

[IME - 2013/2014 - 1a fase]Seja SABCD uma pirmide, cuja base um quadriltero convexo ABCD. A aresta SD a altura da pirmide. Sabe-se que =2 . O volume da pirmide

[IME- 2013/2014- 2fase] Um professor d um teste surpresa para uma turma de 9 alunos e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos. De quantas formas a turma pode se organizar para fazer o teste? (Por exemplo, uma turma de 3 alunos pode se organizar de 4 formas e uma turma de 4 alunos pode se organizar de 10 formas)