Questões de Matemática - ITA 2007 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2007 - 1a Fase) Considere no plano cartesiano xy o tringulo delimitado pelas retas, e. A rea desse tringulo mede

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos do plano cartesiano, em que a um nmero real no nulo. Nas alternativas a seguir, assinale a equao do lugar geomtrico dos pontos P : (x, y) cuja distncia reta que passa por A e B, igual distncia de P ao ponto C.

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sejaum polgono regular delados, com. Denote poro aptema e poro comprimento de um lado de. O valor depara o qual valem as desigualdades e. pertence ao intervalo

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sejam e octgonos regulares. O primeiro est inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferncia de raio R. Sendo a rea de e a rea de , ento a razo igual

(ITA - 2007 - 1a Fase) Considere uma pirmide regular de base hexagonal, cujo aptema da base mede cm. Secciona-se a pirmide por um plano paralelo base, obtendo-se um tronco de volume igual 1 cm e uma nova pirmide. Dado que a razo entre as alturas das pirmides , a altura do tronco, em centı́metros, igual a

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 21) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de nmeros reais tais que

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 22) Determine o conjunto A formado por todos os nmeros complexos z tais que

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 23) Seja k um nmero inteiro positivo e Verifique se , , e , esto ou no, nesta ordem, numa progresso aritmtica ou geomtrica. Se for o caso, especifique a razo.

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 24) Considere a equao: (a) Para que valores do parmetro real p a equao admite razes reais? (b) Determine todas essas razes reais.

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 25) Sendo x, y, z e w nmeros reais, encontre o conjunto soluo do sistema , , .

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 26) Dentre 4 moas e 5 rapazes deve-se formar uma comisso de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moa e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comisso poder ser formada?

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 27) Considere um tringulo issceles , retngulo em . Sobre o lado , considere, a partir de , os pontos e, tais que os comprimentos dos segmentos , , , , nesta ordem, formem uma progresso geomtrica decrescente. Se for o ngulo ,determine em funo da razo da progresso.

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 28) Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferncias C1 e C2, que se tangenciam exteriormente em P : (5, 10). O ponto Q : (10, 12) o centro de C1. Determine o raio da circunferncia C2, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equao x = y.

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 29) Seja C1 uma circunferncia de raio R1 inscrita num tringulo equiltero de altura h. Seja C2 uma segunda circunferncia, de raio R2, que tangencia dois lados do tringulo internamente e C1 externamente. Calcule (R1 R2)/h.

(ITA - 2007 - 2 fase - Questo 30) Os quatro vrtices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm3, encontram-se nos vrtices de um cubo. Cada vrtice do cubo centro de uma esfera de 1cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior s esferas.