Questões de Matemática - UFU 2019 | Gabarito e resoluções

(UFU - 2019 - 2 FASE) O aero Hockey um jogo em que duas pessoas rebatem um disco deslizante sobre uma mesa retangular com o objetivo de acertar o gol de seu adversrio, conforme ilustra a figura abaixo, em que AB mede 90 centmetros e BC mede 3 metros. Imagem ilustrativa e sem escala. Durante uma partida, um dos jogadores lanou o disco, partindo do ponto A, que primeiramente atingiu o lado BC no ponto P, de modo que o trajeto linear AP formou um ngulo de 30 ∘ com o lado AB da mesa, que, em seguida, rebateu diversas vezes nos lados BC e DA da mesa at atingir o lado CD no ponto E. Sabe-se que o trajeto linear do disco, ao bater no ponto P, forma com o lado BC um ngulo de chegada igual ao ngulo de sada, como ilustra a figura, e o processo se repete, alternando-se os lados AD e BC at o disco atingir o ponto E. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Quantas vezes o disco bate em ambos os lados at atingir o lado CD do jogador adversrio? B) Qual a distncia, em cm, entre os pontos D e E? Obs.: considere 3 ≃ 1,7.

(UFU - 2019 - 2 FASE) Uma alternativa prtica de preparar caf de maneira rpida utilizando uma cafeteira italiana, que composta, geralmente, por trs recipientes acoplados com funes de armazenar a gua, o p do caf e o caf pronto. Uma empresa est produzindo uma cafeteira italiana cujo recipiente para a gua tem o formato de um hemisfrio (metade de uma esfera) com 6 cm de altura e o recipiente para o caf pronto tem formato de um cilindro circular reto de altura h cm e com base de 8 cm de dimetro, como ilustra a figura abaixo. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Determine o volume mximo que o recipiente destinado gua suporta. B) Considerando-se que a gua, aps misturada com o caf, passar a ter um volume 2% maior, qual dever ser a altura mnima do recipiente destinado ao caf pronto, supondo-se que o recipiente de gua esteja completamente cheio? Obs.: considere ≃ 3.

(UFU - 2019 - 2 FASE) O uso de dados mveis de um celular est registrado no grfico cartesiano abaixo, em que o eixo das abscissas representa os dias e o eixo das ordenadas registra o total de dados utilizados em cada dia em megabytes. Os picos deste grfico ocorrem nos dias 2, 4 e 6, com o uso de, respectivamente, 25, 35 e 45 megabytes de dados mveis. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Os pares ordenados (4, 35) e (6, 45) determinam uma reta r que corresponde ao grfico de uma funo afim y = f(x). Encontre a expresso para f(x) e verifique se os trs pares ordenados correspondentes aos picos de uso de dados, representados no plano cartesiano acima, so colineares. B) Admitindo-se que o prximo pico ocorrer no oitavo dia e que o ponto P correspondente a este dia colinear aos picos de coordenadas (4, 35) e (6, 45), determine a ordenada do ponto P.

(UFU - 2019 - 2 FASE) A equao de segundo grau , em que x a incgnita, uma constante e cujas solues e so nmeros inteiros, pode ser expressa na forma de um produto de monmios de primeiro grau:. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Determine todos os possveis valores para a raiz . B) Quais so os valores possveis para a constante ?

(UFU - 2019 - 1 FASE )Para realizar a reforma de um restaurante, uma das paredes ser revestida com peas de cermica quadradas, formando padres retangulares compostos por quatro dessas peas. Cada um desses padres formado por uma pea grande de cor cinza agrupada, na parte superior, a trs peas pequenas de lados iguais, alternando-se as cores preta e cinza, conforme ilustra a imagem a seguir. Os padres sero colocados na parede, da esquerda para a direita, iniciando-se pelo padro formado por duas peas pretas. Sabendo-se que nove desses padres foram aderidos parede, apenas na direo horizontal, um ao lado do outro, cobrindo uma rea total de 2700 , logo a rea total coberta pelas peas pretas , em , igual a

(UFU - 2019 - 1 FASE )Em uma reunio para comemorar o ano novo, 13 familiares estavam reunidos em um salo de festas e cada um levou um presente embalado com apenas uma cor, sendo que 3 presentes estavam embalados na cor branca, 4 na cor cinza, 4 na cor amarela e 2 na cor verde. Dois membros dessa famlia fizeram as seguintes afirmaes independentes. Membro I. Se eu trocar a cor da embalagem do meu presente por uma nova embalagem na cor verde, ento a moda passar a ser somente presentes embalados de cinza. Membro II. Se mais uma pessoa chegar nossa reunio e trouxer um presente embalado da mesma cor que a do meu presente, ento a embalagem cinza deixar de ser moda. Baseando-se nas informaes apresentadas, correto afirmar que

(UFU - 2019 - 1 FASE )Um mestre em carat abriu uma academia h alguns anos e registrou a quantidade de alunos que frequentava seu estabelecimento. A primeira turma era formada por 6 alunos e, a cada ano, esse nmero dobrava. A seguinte funo exponencial descreve a quantidade de alunos que esta academia possui anualmente em que 𝑦 a quantidade de alunos que frequentou o ano 𝑥 e 𝑏 e 𝑐 so constantes reais. Baseando-se nas informaes apresentadas, os valores das constantes so

(UFU - 2019 - 1 FASE )Para proteger seus clientes em dias de chuva, a proprietria de uma loja planeja construir uma cobertura na entrada, utilizando telhas de fibrocimento. Cada telha tem formato de meio cilindro reto, com dimetro da base medindo 60 centmetros e comprimento medindo 1,5 metros, como ilustra a imagem a seguir. Aps construda essa cobertura, a proprietria pretende pintar apenas a parte superior das telhas na cor branca. Sabendo-se que sero utilizadas exatamente quatro dessas telhas, a rea que ser necessrio pintar , em metros quadrados, igual a Adote= 3,0

(UFU - 2019 - 1 FASE )Uma academia de ginstica disponibiliza a seus usurios um banco para que possam desenvolver suas atividades fsicas com o auxlio de um instrutor habilitado. Esse banco pode ser utilizado para diversas atividades e por pessoas com diferentes biotipos, uma vez que possui uma parte prolongvel e uma parte inclinvel. Na Figura 1, a seguir, o banco foi inclinado em 30 em relao posio horizontal, mas a parte prolongvel no foi utilizada, mantendo sua extenso igual a 𝑑 cm. Na Figura 2, o banco foi inclinado um pouco mais at formar um ngulo de 45 em relao posio horizontal e, alm disso, a parte prolongvel foi utilizada para ampliar a extenso do banco em 𝑥 cm em relao sua extenso inicial de 𝑑 cm. Na posio da Figura 1, o encosto desse banco atinge a altura de ℎ cm em relao base horizontal do banco; na posio da Figura 2, o encosto desse banco atinge a altura de 𝐻 cm em relao a essa mesma base horizontal, que o dobro da altura ℎ. Segundo as informaes apresentadas, a razo entre o prolongamento 𝑥 e a extenso inicial 𝑑 do banco um nmero que pertence ao intervalo

(UFU - 2019 - 1 FASE )O produto de uma matriz quadrada 𝐴 por ela mesma denotado por , o produto de 3 dessas matrizes quadradas denotado por e o produto de 𝑛 dessas matrizes quadradas denotado por 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 . Para a matriz 𝐴 = , o produto 𝐴 2019 igual a

(UFU - 2019 - 1 FASE )Algumas frutas possuem variaes muito parecidas e, quando esto misturadas, difcil identific-las corretamente, como o caso das goiabas branca e vermelha. Em uma prateleira do supermercado esto misturadas 20 goiabas vermelhas e 16 brancas. Admitindo-se que no seja possvel diferenciar goiabas brancas de vermelhas, qual a probabilidade de se retirar uma goiaba vermelha e, em seguida, uma goiaba branca?

(UFU - 2019 - 1 FASE )O arremesso de peso uma modalidade de esporte tradicional nos jogos olmpicos e em competies esportivas mundiais. A equipe de treinamento de um atleta, para melhorar seu desempenho, analisou a trajetria de dois arremessos de peso, elaborando um esquema no plano cartesiano de modo que o primeiro peso percorreu o grfico da funo do segundo grau 𝑝(𝑥), partindo do ponto de coordenadas (0, 0), atingindo altura mxima de 6 m e encontrando o solo no ponto (10, 0). O segundo peso percorreu o grfico da funo do segundo grau 𝑞(𝑥), partindo do ponto (2, 0), passando pelo ponto em que o primeiro peso atingiu sua altura mxima, atingindo o solo no ponto (15, 0). Nessas condies, a funo do segundo grau cujo grfico descreve a trajetria do segundo peso expressa por

(UFU - 2019 - 1 FASE )O imposto de renda atualmente est dividido em cinco faixas de valores de rendimentos mensais, de modo que na primeira faixa o contribuinte isento de pagar imposto e, nas outras quatro, o imposto a ser pago segue uma tabela crescente de percentuais chamados de alquotas. Est sendo estudada uma nova proposta de considerar uma alquota nica de 20% para os contribuintes com rendimentos mensais maiores do que R$5.000,00 e aqueles com rendimentos mensais menores ou iguais a esse valor estariam isentos de pagar esse imposto. O clculo do imposto a pagar feito somente sobre o valor do rendimento mensal que excede R$5.000,00. Considerando-se essa nova proposta de alquota nica, se uma pessoa que teve rendimento mensal fixo pagou um total de R$ 700,00 de imposto de renda em um ano, logo seu salrio anual foi, em reais, igual

(UFU - 2019 - 1 FASE )Se as funes reais 𝑓 e 𝑔 so definidas por 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝜋/4, ento a funo composta (𝑓 ∘ 𝑔) tem sua expresso (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) igual a