(UNESP - 2017- 2 fase)Uma lancha e um navio percor

(UNESP - 2017 - 2ª fase)

Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano com velocidades constantes de 80 e 30 km/h, respectivamente. Suas rotas, como mostra a figura, estão definidas por ângulos constantes de medidas iguais a \(\alpha\) e \(\beta\) respectivamente. Quando a lancha está no ponto L e o navio no ponto N, a distância entre eles é de 10 km.

Sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ângulo obtuso \(\mathrm{L\widehat{P}N}\) será igual a \(\alpha + \beta\). Em seguida, calcule a distância entre N e P, considerando \(cos (\alpha + \beta) = - \frac{9}{16}\).