Questões de Matemática - UNICAMP 2007 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2007)Vrios excertos da coletnea fazem referncia ao aumento da produo agrcola destinada gerao de energia. Esse fenmeno se verifica, por exemplo, no caso da cana-de-acar, usada na produo do lcool combustvel. Uma parcela significativa da frota automobilstica brasileira possui motor bicombustvel, que pode funcionar tanto com lcool como com gasolina. Sabe-se, entretanto, que o consumo desses motores varia de acordo com o combustvel utilizado. Nesta questo, consideramos um carro que capaz de percorrer 9 km com cada litro de lcool e 12,75 km com cada litro de gasolina pura. Supomos, tambm, que a distncia percorrida com cada litro de combustvel uma funo linear da quantidade de lcool que este contm. a) Quantos quilmetros esse carro consegue percorrer com cada litro de gasolina C (aquela que vendida nos postos), que contm 80% de gasolina pura e 20% de lcool? b) Em um determinado posto, o litro da gasolina C custa R$ 2,40 e o do lcool custa R$1,35. Abastecendo-se nesse posto, qual combustvel proporcionar o menor custo por quilmetro rodado? Justifique. c) Suponha que, ao chegar a um posto, o tanque do carro j contivesse 1/3 de seu volume preenchido com gasolina C e que seu proprietrio tenha preenchido os 2/3 restantes com lcool. Se a capacidade do tanque de 54 litros, quantos quilmetros o carro poder percorrer com essa quantidade de combustvel?

(UNICAMP - 2007)Po por quilo divide opinies em Campinas (Correio Popular, 21/10/2006). Uma padaria de Campinas vendia pes por unidade, a um preo de R$ 0,20 por pozinho de 50 g. Atualmente, a mesma padaria vende o po por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do produto. a) Qual foi a variao percentual do preo do pozinho provocada pela mudana de critrio para o clculo do preo? b) Um consumidor comprou 14 pezinhos de 50 g, pagando por peso, ao preo atual. Sabendo que os pezinhos realmente tinham o peso previsto, calcule quantos reais o cliente gastou nessa compra.

(UNICAMP - 2007)A fi gura abaixo mostra um fragmento de mapa, em que se v o trecho reto da estrada que liga as cidades de Paraguau e Piripiri. Os nmeros apresentados no mapa representam as distncias, em quilmetros, entre cada cidade e o ponto de incio da estrada (que no aparece na fi gura). Os traos perpendiculares estrada esto uniformemente espaados de 1 cm. a) Para representar a escala de um mapa, usamos a notao 1: X, onde X a distncia real correspondente distncia de 1 unidade do mapa. Usando essa notao, indique a escala do mapa dado acima. b) Repare que h um posto exatamente sobre um trao perpendicular estrada. Em que quilmetro (medido a partir do ponto de incio da estrada) encontra-se tal posto? c) Imagine que voc tenha que reproduzir o mapa dado usando a escala 1: 500000. Se voc fizer a figura em uma folha de papel, qual ser a distncia, em centmetros, entre as cidades de Paraguau e Piripiri?

(UNICAMP - 2007)A coletnea de textos da prova de redao tambm destaca o impacto da modernizao da agricultura sobre a produtividade da terra e sobre as relaes sociais no pas. Aproveitando esse tema, analisamos, nesta questo, a colheita de uma plantao de cana-de-acar, cujo formato fornecido na figura ao lado. Para colher a cana, pode-se recorrer a trabalhadores especializados ou a mquinas. Cada trabalhador capaz de colher 0,001 km2 por dia, enquanto uma colhedeira mecnica colhe, por dia, uma rea correspondente a 0,09 km2 . a) Se a cana precisa ser colhida em 40 dias, quantos trabalhadores so necessrios para a colheita, supondo que no haja mquinas? b) Suponha, agora, que a colheita da parte hachurada do desenho s possa ser feita manualmente, e que o resto da cana seja colhido por quatro colhedeiras mecnicas. Neste caso, quantos trabalhadores so necessrios para que a colheita das duas partes tenha a mesma durao? Em seus clculos, desconsidere os trabalhadores que operam as mquinas.

(UNICAMP - 2007)Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 0,1mm deespessura seguidamente dobrada ao meio, de forma que a dobra sempre perpendicular maior dimenso resultante at a dobra anterior. a) Escreva a expresso do termo geral da progresso geomtrica que representa a espessura do papel dobrado em funo do nmero k de dobras feitas. b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paraleleppedo. Nesse caso, aps dobrar o papel seis vezes, quais sero as dimenses do paraleleppedo?

(UNICAMP - 2007)Um pluvimetro um aparelho utilizado para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada regio. A figura de um pluvimetro padro exibida ao lado. Nesse pluvimetro, o dimetro da abertura circular existente no topo de 20 cm. A gua que cai sobre a parte superiordo aparelho recolhida em um tubo cilndrico interno. Esse tubo cilndrico tem 60 cm de altura e sua base tem 1/10 da rea da abertura superior do pluvimetro. (Obs.: a figura ao lado no est em escala). a) Calcule o volume do tubo cilndrico interno. b) Supondo que, durante uma chuva, o nvel da gua no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o volume de gua precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular com 500 m de comprimento por 300 m de largura.

(UNICAMP - 2007)Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinio revelou que, a cada real de aumento no preo do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda s perguntas abaixo, supondo corretasas informaes da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes. a) Em que caso a receita do restaurante ser maior: se o preo subir para R$18,00 / kg ou para R$ 20,00 / kg? b) Formule matematicamente a funo f(x), que fornece a receita do restaurante como funo da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeio. c) Qual deve ser o preo do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possvel?

(UNICAMP - 2007)Dois prmios iguais sero sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e trs homens. Admitindo que uma pessoa no possa ganhar os dois prmios, responda s perguntas abaixo. a) De quantas maneiras diferentes os prmios podem ser distribudos entre as dez pessoas? b) Qual a probabilidade de que dois homens sejam premiados? c) Qual a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prmio?

(UNICAMP - 2007)Na execuo da cobertura de uma casa, optou-se pela construo de uma estrutura, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo. Resolva as questes abaixo supondo que = 15. Despreze a espessura das barras de madeira e no use aproximaes nos seus clculos. a) Calcule os comprimentos b e c em funo de a, que corresponde ao comprimento da barra da base da estrutura. b) Assumindo, agora, que a = 10m, determine o comprimento total da madeira necessria para construir a estrutura.

(UNICAMP - 2007)Seja dado o sistema linear: a) Mostre graficamente que esse sistema no tem soluo. Justifique. b) Para determinar uma soluo aproximada de um sistema linear Ax = b impossvel, utiliza-se o mtodo dos quadrados mnimos, que consiste em resolver o sistema ATAx = ATb. Usando esse mtodo, encontre uma soluo aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de MT(a transposta de uma matriz M) so iguais s colunas de M.

(UNICAMP - 2007)Em um tringulo com vrtices A, B e C, inscrevemos um crculo de raio r. Sabe-se que o ngulo tem 90 e que o crculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3. a) Determine r. b) Determine AB e AC. c) Determine a rea da regio que , ao mesmo tempo, interna ao tringulo e externa ao crculo

(UNICAMP - 2007)O decaimento radioativo do estrncio 90 descrito pela funo , onde t um instante de tempo, medido em anos, b uma constante real e P0 a concentrao inicial de estrncio 90, ou seja, a concentrao no instante t = 0. a) Se a concentrao de estrncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto , se a meia-vida do estrncio 90 de 29 anos, determine o valor da constante b. b) Dada uma concentrao inicial P0, de estrncio 90, determine o tempo necessrio para que a concentrao seja reduzida a 20% de P0. Considere

(UNICAMP - 2007)Seja dada a reta x 3y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ngulo de 45 com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as equaes das retas mencionadas no item (a)

(UNICAMP - 2007)Seja ABCDA1B1C1D1um cubo com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto mdio de BC e O o centro da face CDD1C1, conforme mostrado na figura abaixo a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC1e DD1em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL. b) Calcule o volume do slido com vrtices A, D, L, K, C e M.