(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 10)O GPS (Global

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 10)

O GPS (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do GPS adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia (\(t_{Terra} = 1,0dia = 86400s\)), no satélite o tempo transcorrido é  \(t_{satelite} = t_{Terra} + \Delta t\) , maior que um dia, e a diferença de tempo \(\Delta t\) tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por \((\Delta t/t_{terra}) = (\Delta U/mc^2)\), sendo \(\Delta U\) a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa \(m\) entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e \(c = 3,0 \times 10^8m/s\), a velocidade da luz no vácuo.

a) Para o satélite podemos escrever \(\Delta U = mgR_T (1- R_r/r)\), sendo \(4 \approx 4R_T\) o raio da órbita, \(R_T = 6,4 \times 10^6m\) m o raio da Terra e \(g\) a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em \(t_{terra} = 1,0 dia\)em razão do efeito gravitacional?

b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em \(10^{16}\) , ou seja, terão erro menor que \(10^{-16}s\) a cada segundo. Qual é a altura \(h\) que produziria uma diferença de tempo \(\Delta t = 10^{-16}s\) a cada \(t_{terra} = 1,0s\)? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.