Questões de Matemática - UNICAMP 2010 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2010 - 1 FASE) Segundo o IBGE, nos prximos anos, a participao das geraes mais velhas na populao do Brasil aumentar. O grfico ao lado mostra uma estimativa da populao brasileira por faixa etria, entre os anos de 2010 e 2050. Os nmeros apresentados no grfico indicam a populao estimada, em milhes de habitantes, no incio de cada ano. Considere que a populao varia linearmente ao longo de cada dcada. a) Com base nos valores fornecidos no grfico, calcule exatamente em que ano o nmero de habitantes com 60 anos ou mais ir ultrapassar o nmero de habitantes com at 17 anos. (Ateno: no basta encontrar um nmero aproximado a partir do grfico. preciso mostrar as contas.) b) Determine qual ser, em termos percentuais, a variao da populao total do pas entre 2040 e 2050.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 1) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de acar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de acar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispe de 10 kg de acar e 6 kg de farinha, responda s questes abaixo. a) Ser que possvel produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o acar de que dispe?

(UNICAMP - 2010 - 1 FASE) As mensalidades dos planos de sade so estabelecidas por faixa etria. A tabela ao lado fornece os valores das mensalidades do plano Gerao Sade. Sabendo que o salrio mnimo nacional vale, hoje, R$ 465,00, responda s perguntas abaixo. a) O grfico em formato de pizza ao lado mostra o comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa que recebe 8 salrios mnimos por ms e aderiu ao plano de sade Gerao Sade. Em cada fatia do grfico, esto indicados o item referente ao gasto e o ngulo correspondente, em graus. Determine a que faixa etria pertence essa pessoa. b) O comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa com o plano de sade Gerao Sade varia de acordo com o salrio que ela recebe. Suponha que x seja a quantidade de salrios mnimos recebida mensalmente por uma pessoa que tem 56 anos, e que C(x) seja a funo que fornece o comprometimento salarial, em porcentagem, com o plano de sade. Note que x no precisa ser um nmero inteiro. Determine a expresso de C(x) para x 1, e trace a curva correspondente a essa funo no grfico abaixo.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 2) Uma pea esfrica de madeira macia foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaixo. Observe que, na escavao, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esfrica. Sabe-se que uma calota esfrica tem volume, em que a altura da calota e o raio da esfera. Alm disso, a rea da superfcie da calota esfrica (excluindo a poro plana da base) dada por. Ateno: no use um valor aproximado para . a) Supondo que , determine o volume do anel de madeira, em funo de . b) Depois de escavada, a pea de madeira receber uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que , determine a rea sobre a qual o verniz ser aplicado.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 3) Um arteso precisa recortar um retngulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponveis para a obteno dessa tira so mostrados nas figuras abaixo. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obteno da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obteno da tira? Justifique

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 4) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que ter que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ngulo de inclinao , tal que . Suponha, tambm, que cada pedalada faa a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura (medida com relao ao ponto de partida) que ser atingida por Laura aps dar 100 pedaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura est destacado na figura direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 5) O valor presente, , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, dado pela frmula abaixo, em que r o percentual mensal de juros (0 r 100) e p o valor da parcela. a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 ms). Calcule o valor presente da mercadoria, , supondo uma taxa de juros de 1% ao ms. b) Imagine que outra mercadoria, de preo 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 ms) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, , e o percentual mnimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar vista.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 6) Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam msicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento apresentado na tabela abaixo. a) Em face dos timos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prmio entre seus clientes. Cada proprietrio de um aparelho da empresa receber um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, no sendo possvel receber uma frao de cupom. Supondo que cada proprietrio adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietrios resgataram seus cupons, calcule o nmero total de cupons e a probabilidade de que o prmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preo superior a R$ 300,00. b) A empresa pretende lanar um novo modelo de aparelho. Aps uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o nmero de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preo do novo modelo esto relacionados pela funo n(p) = 115 0,25p, em que n o nmero de aparelhos (em milhares) e p o preo de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que dada por n p.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 7) Sejam dadas as funese. a) Represente a curva y = f(x) no grfico abaixo, em que o eixo vertical fornece . b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equaes Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 8) O papagaio (tambm conhecido como pipa, pandorga ou arraia) um brinquedo muito comum no Brasil. A figura abaixo mostra as dimenses de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadriltero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedao de linha. Uma das varetas reta e liga os vrtices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vrtices B e D, tem o formato de um arco de circunferncia e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente. a) Calcule a rea do quadriltero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 9) Considere a matriz, cujos coeficientes so nmeros reais. a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz so iguais a zero. Supondo tambm que no h nenhuma informao adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz no seja nulo. b) Suponha, agora, que para todo elemento em que j i, e que para os elementos em que . Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, .

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 10) Suponha que f :IR IR seja uma funo mpar (isto , f(x) = f(x)) e peridica, com perodo 10 (isto , f(x) = f(x+10)). O grfico da funo no intervalo [0, 5] apresentado abaixo. a) Complete o grfico, mostrando a funo no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99). b) Dadas as funes g(y) = y2 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expresso de h(x) para 2,5 x 5.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 11) No desenho abaixo, a reta y = ax (a 0) e a reta que passa por B e C so perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B o ponto (2, 0), resolva as questes abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em funo de a. b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equao da circunferncia com centro em A e tangente ao eixo x.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 12) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o nmero de integrantes usando estratgias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um perodo de uma semana e dobrar o nmero de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entraro 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que j tem 2200 membros, acredita que conseguir mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentar o nmero de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entraro no site B na primeira semana, 200 entraro na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar marca dos 10000 membros?