Questões de Matemática - UNICAMP 2020 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2020 - 2 fase) Dois tipos de exames para a deteco de certo vrus foram aplicados em um grupo de 80 pacientes, dos quais, com certeza, 60 so portadores desse vrus e 20 no so. Os resultados dos exames esto organizados nas tabelas abaixo. Note que em cada exame ocorrem tanto falsos positivos (pacientes no portadores do vrus com resultado positivo no exame) quanto falsos negativos (pacientes portadores do vrus com resultado negativo no exame). a) Calcule a porcentagem de pacientes portadores do vrus no grupo em estudo. b) Considerando os resultados positivos em cada exame, qual dos dois exames tem a menor porcentagem de falsos positivos? Justifique sua resposta.

(UNICAMP - 2020 - 2 fase) A figura abaixo exibe um tringulo issceles com dois lados de comprimento a = 5 cm e um dos ngulos internos igual a 𝜃, em que cos 𝜃 = 3/5. a) Calcule a rea desse tringulo. b) Determine o comprimento do raio da circunferncia circunscrita a esse tringulo.

(UNICAMP - 2020 - 2 fase) Seja a matriz de ordem 2 x 3, dada por a) Seja 𝐶 a matriz de ordem 3 x 2, cujos elementos so dados por , para i = 1, 2, 3 e j = 1, 2. Determine o produto 𝐴𝐶. b) Determine a soluo do sistema linear nas variveis reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧, em que (x, y, z) uma progresso aritmtica.

(UNICAMP - 2020 - 2 fase) A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, o grfico de para , em que os pontos 𝐴 e 𝐵 tm abscissas e , e 𝑂 a origem do sistema de coordenadas. a) Prove que os pontos ,e = ,so colineares. b) Para b = 3, determine o valor de 𝑎 para o qual a distncia da origem ao ponto 𝐴 igual distncia do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵.

(UNICAMP - 2020 - 2 fase) Seja a funo, definida para todo nmero real . a) Mostre que . b) Seja 𝜃 um nmero real tal que . Determine os possveis valores para .

(UNICAMP - 2020 - 2 fase) A figura abaixo exibe a planificao de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes e faces retangulares, em que so indicados os comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐. a) Determine o nmero de vrtices e de arestas desse poliedro. b) Para 𝑎 =13 𝑐𝑚, 𝑏 =16 𝑐𝑚 e 𝑐 =10 𝑐𝑚, calcule o volume desse poliedro.

(UNICAMP - 2020) Em uma famlia, cada filha tem o mesmo nmero de irms e irmos, e cada filho tem um nmero de irms igual ao dobro do nmero de irmos. O nmero total de filhos e filhas dessa famlia igual a:

(UNICAMP - 2020) Cinco pessoas devem ficar em p, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. O nmero de possibilidades distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas igual a:

(UNICAMP - 2020) Um atleta participa de um torneio composto por trs provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar de 23 independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio igual a:

(UNICAMP - 2020) Sabendo que é um número real, considere a função, definida para todo número real x. Se, então:

(UNICAMP - 2020) Sabendo que um nmero real, considere a equao quadrtica . Se as solues dessa equao so nmeros inteiros, o mdulo da soma das solues igual a:

(UNICAMP - 2020) Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão aritmética de números reais, e que a soma de seus elementos é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão é igual a:

(UNICAMP - 2020) Tendo em vista que e so nmeros reais positivos, , considere a funo , definida para todo nmero real x. Logo, igual a:

(UNICAMP 2020)Sabendo que é um número real, considere a matriz e sua transposta . Se é singular (não invertível), então

(UNICAMP 2020) A figura abaixo exibe o triângulo 𝐴𝐵𝐶, em que 𝐴𝐵 =𝐵𝐶 e é uma altura de comprimento ℎ. A área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a