Questões de Matemática - FUVEST 2016 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) So dadas trs circunferncias de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangncia so P1,P2 e P3 Calcule, em funo de r, a) o comprimento do lado do tringulo equiltero Tdeterminado pelas trs retas que so definidas pela seguinte exigncia: cada uma delas tangente a duas das circunferncias e no intersecta a terceira; b) a rea do hexgono no convexo cujos lados so os segmentos ligando cada ponto P1,P2 e P3 aos dois vrtices do tringulo Tmais prximos a ele

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) De 1869 at hoje, ocorreram as seguintes mudanas de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil ris; (2) em 1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3) em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; (4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um valendomil cruzados; em1990, o cruzado novo passou a se chamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o real, cada um valendo 2.750 cruzeiros reais. Quando morreu, em 1869, Brs Cubas possua 300 contos. Se esse valor tivesse ficado at hoje em uma conta bancria, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudana de moeda, o depsito tivesse sido normalmente convertido para a nova moeda, o saldo hipottico dessa conta seria, aproximadamente, de um dcimo de

(FUVEST - 2016) Os pontosA, B e C so colineares,=5,=2 e B est entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferncia com centro em A. Traa-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto mdio. Chama-se de P a interseco de r com AD. Ento, AP + BP vale:

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) Considere as funes f e g definidas por a) Calcule f(3/2),f(2),f(3),g(-4),g(0) e g(2). b) Encontre x, 1 x 4, tal que f(x) = g(x).

(FUVEST 2016 - 1 FASE) Um veculo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira tera parte do trajeto velocidade mdia de 60 km/h, a tera parte seguinte a 40 km/h e o restante do percurso a 20 km/h. O valor que melhor aproxima a velocidade mdia do veculo nessa viagem, em km/h,

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) Joo e Maria jogam dados em uma mesa. So cinco dados em forma de poliedros regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces so numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados so honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, aps o repouso do dado, a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, Joo o lana e verifica o nmero da face que ficou em contato com a mesa. , a) Qual a probabilidade de que esse nmero seja maior do que 12? b) Qual a probabilidade de que esse nmero seja menor do que 5? Num segundo jogo, Joo sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lana e anota o valor da soma dos nmeros das duas faces que ficaram em contato com a mesa, aps o repouso dos dados. c) Qual a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) No plano cartesiano 0xy , a circunferncia C tem centro no ponto p = (2,1),e a reta t tangente a C no ponto  Q = (-1,5) a) Determine o raio da circunferncia C. b) Encontre uma equao para a reta t. c) Calcule a rea do tringulo PQR, sendo Ro ponto de interseo de tcom o eixo 0x.

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) A igualdade correta para quaisquer a e b, nmeros reais maiores do que zero,

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) Em um experimento probabilstico, Joana retirar aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja?

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) A figura abaixo representa o grfico de uma funo. Note que . A restrio de f ao intervalotem como grfico parte de uma parbola com vrtice no ponto (-2,-3); restrita ao intervalo [0,5], ftem como grfico um segmento de reta. a) Calcule f(-1) e f(3). Usando os sistemas de eixos da folha de respostas, esboce b) o grfico de g(x) = |f(x)|, x[-5,5] c) o grfico de h(x) = f(|x|), x[-5,5]

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) As constantes A,B,C e Dso tais que a igualdade vlida para todo a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equaes, satisfeito pelas constantes A,B,C e D. b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) No plano cartesiano, um crculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equaes y = x e x = 0. Se P pertence parbola de equao y = x2 e a 0, a ordenada b do ponto P igual a

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) Em uma classe com 14 alunos, 8 so mulheres e 6 so homens. A mdia das notas das mulheres no final do semestre ficou um ponto acima da mdia da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Ento, a mdia das notas dos homens ficou mais prxima de

(FUVEST - 2016 - 2 Fase) A hortnsia (Hydrangea macrophylla) produz flores azuis quando cultivada em solo de pH 5. Quando o pH do solo maior do que 5, as flores tornamse rosadas. Um jardineiro recebeu uma encomenda de hortnsias rosadas. Ele dispe de um jardim plano, com as formas e dimenses descritas na figura abaixo, e cujo solo apresenta pH = 4. Para obter um solo adequado produo de flores rosadas, o jardineiro dever adicionar uniformemente 300 g de calcrio dolomtico por m2 de terreno. a) Calcule a massa, em quilogramas, de calcrio dolomtico necessria para a correo do solo do jardim. O calcrio dolomtico uma mistura de carbonato de clcio e carbonato de magnsio. Ao adquirir um pacote desse produto, o jardineiro observou que, no rtulo, sua composio estava expressa na forma das porcentagens, em massa, dos xidos de clcio e de magnsio que poderiam ser obtidos a partir dos correspondentes carbonatos contidos no calcrio dolomtico. b) Calcule a porcentagem, em massa, de carbonato de magnsio presente no calcrio dolomtico adquirido pelo jardineiro.

(FUVEST - 2016 - 2aFASE) O Sistema Cantareira constitudo por represas que fornecem gua para a Regio Metropolitana de So Paulo. Chama-se de volume til do Sistema os 982 bilhes de litros que ficam acima do nvel a partir do qual a gua pode ser retirada sem bombeamento. Com o uso de tcnicas mais elaboradas, possvel retirar e tratar parte da gua armazenada abaixo desse nvel. A partir de outubro de 2014, a Sabesp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhes de litros desse volume adicional, denominada reserva tcnica ou volume morto, e chamou de volume total a soma do volume til com a reserva tcnica. A parte do volume total ainda disponvel para consumo foi chamada de volume armazenado. O primeiro ndice usado pela Sabesp para divulgar o nvel do Sistema, aps o incio do uso da reserva tcnica, foi o percentual do volume armazenado em relao ao volume til (e no ao volume total). Chama-se este percentual de ndice 1. a) Calcule o valor que ter o ndice 1 quando as represas estiverem completamente cheias, supondo que a definio de volume armazenado no tenha mudado. A partir de abril de 2015, a Sabesp passou a divulgar outros dois ndices, alm do ndice 1 (veja o Quadro). Note que o ndice 3 pode assumir valores negativos e valer 100% quando as represas do Sistema estiverem completamente cheias. b) No momento em que o ndice 1 for 50%, que valores tero os ndices 2 e 3? c) Qual o valor do ndice 2 no momento em que o ndice 3 negativo e vale -10%?