Questões de Matemática - IME 2015 | Gabarito e resoluções

(IME - 2015/2016) Dados trs conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G H igual ao conjunto:

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Os inteiros esto em PA com razo nula. Os termos esto em PG, assim como. Determine j.

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Sejam as funes fn, para n{0,1,2,3,...}, tais que: f0(x) =e fn(x) = f0(fn-1(x)), para n1. Calcule f2016(2016).

[IME-2015 / 2016- 1 fase] O polinmiotem razes reais, - e 1/. Portanto o valor da soma

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Seja um nmero complexo tal quepossui argumento igual ae. Determine o nmero complexo.

[IME-2015 / 2016- 1 fase] Sabendo-se que m e n so inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n2, determine o resto dadiviso de m+n por 5.

[IME-2015 / 2016- 1 fase] O valor do somatrio abaixo

[IME-2015/2016- 2 fase] Define-seA comoa matriz2016x2016, cujos elementos satisfazem igualdade: para{1, 2, ..., 2016}. Calcule o determinante de A.

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Determine o conjunto soluo da equao:

[IME-2015 / 2016- 1 fase] Seja Px = x2 + ax + b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) tm uma raiz em comum. Pode-seafirmar que para todo valor a e b

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Seja a equao. Determine todos os pares inteiros (m, n), que satisfazem a esta equao.

(IME- 2015 / 2016) Sabendo-se que os nmeros reais positivos a, b e c formam uma progresso geomtrica e,e formam uma progresso aritmtica, ambas nessa ordem,ento pode-se afirmar que a, b e c

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Trs jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado no viciado de seis faces. O primeiro jogador lana o dado, seguido pelo que est sentado sua esquerda, continuando neste sentido at o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6, ganha e o jogo acaba. Se um jogador obtiver o resultado 1, o jogador seguinte perder a vez, isto , a vez passar ao jogador sentado direita de quem obteve 1. O jogo seguir at que um jogador ganhe ao tirar um 6. Qual a probabilidade de vitria do primeiro jogador a jogar?

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O valor da soma abaixo :

[IME- 2015/2016 - 2 fase] A circunferncia C tem equao x2 + y2 = 16. Seja C uma circunferncia de raio 1 que se desloca tangenciando internamente a circunferncia C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C rola internamente sobre C. Define-se o ponto P sobre Cde forma que no incio do movimento de C o ponto P coincide com o ponto de tangncia (4,0), conforme figura a. Aps certo deslocamento, o ngulo de entre o eixo x e a reta que une o centro das circunferncias , conforme figura b. Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C em funo do ngulo. Determine a equao em coordenadas cartesianas do lugar geomtrico do ponto P quando varia no intervalo.