Questões de Matemática - IME 2018 | Gabarito e resoluções

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Aristeu e seu irmo nasceram nos sculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois j fizeram aniversrio e a idade de cada um deles a soma dos trs ltimos dgitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual a soma das idades dos dois irmos?

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Um jogo de domin possui 28 peas com duas pontas numeradas de zero a seis, independentemente, de modo que cada pea seja nica, conforme ilustra a Figura 1. O jogo se desenrola da seguinte forma: 1- Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada. 2- No incio do jogo, cada jogador recebe um conjunto de 7 peas, de forma aleatria, de modo que somente o detentor das peas possa ver seu contedo. 3- As aes ocorrem por turnos no sentido anti-horrio. 4- O jogador com a pea 6|6 coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na sua vez, executa uma de duas aes possveis: a. Adiciona uma de suas peas de forma adjacente a uma das duas extremidades livres do jogo na mesa, de modo que as peas sejam encaixadas com pontas de mesmo valor. b. Passa a vez, caso no possua nenhuma pea com ponta igual a uma das extremidades livres da mesa. 5- Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peas na mo. No jogo da Figura 2, a sua vez de jogar e voc constatou que o jogador sua direita no possui peas com ponta 5 e o jogador sua frente no possui peas com ponta 0. Voc analisou todas as possveis configuraes de peas que os jogadores podem ter em suas mos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa s possa ser usada por uma pea de sua posse, e que esta ser a sua ltima pea em mo. Ao utilizar essa estratgia: a) Quantas configuraes de peas nas mos dos jogadores garantem a vitria do jogo a voc? b) Esta quantidade corresponde a qual percentual do total de configuraes possveis? Observao: A ordem das peas na mo de um jogador no importa.

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Definimos a funo f: da seguinte forma: Determine f(f(2019)). Observao : [k] o maior inteiro menor ou igual a k

(IME - 2018/2019) Os ngulosso os termos de uma progresso aritmtica na qual. O valor de:

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Calcule o valor do determinante:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Dadas as funes definidas nos reais : . Mostre que existe uma nica soluo tal que: seja uma funo constante nula, onde

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Seja um nmero complexo tal que possui argumento igual a e . Determine o nmero complexo .

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Seja a inequao: Seja (a,b) um intervalo contido no conjunto soluo dessa inequao. O maior valor possvel para :

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Sejam x1, x2 e x3 razes da equao. Sendo aum nmero real, o valor de igual a:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Mostre que os nmeros 16, 24 e 81 podem pertencer a uma PG e obtenha a quantidade de termos dessa PG, sabendo que seus elementos so nmeros naturais.

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Seja o polinmio 𝑞(𝑥) = 𝑥4 8𝑥3 + 6𝑥2 + 40𝑥 + 25 + 𝑘 que possui valor mnimo igual a 64, onde 𝑘 uma constante real. Determine as razes de 𝑞(𝑥).

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Sejaum nmero complexo tal que,e. A soma dos inversos dos possveis valores deest no intervalo:

(IME - 2018/2019 - 1 FASE ) Definimos a funoda seguinte forma: Definimos a funoda seguinte forma:. Podemos afirmar que:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Determine todas as solues da equao 4 𝑠𝑒𝑛2(7𝑥) ∙ cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(9𝑥) + 8 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 5 cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) = 4 no intervalo

(IME - 2018/2019 - 1 FASE ) Em um jogo de RPG Role-Playing Game em que os jogadores lanam um par de dados para determinar a vitria ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados so icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem de dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversrio somou 35 pontos na rolagem de dados. sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo?