Questões de Matemática - IME 2022 | Gabarito e resoluções

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Sejamnmero reais maiores que 1. Considere a expresso: onde Prove que o valor de um nmero inteiro e calcule este valor.

(IME - 2022/2023 - 1 fase)Um polgono regular possui vrtices . Escolhem-se ao acaso 4 vrtices do polgono, formando o quadriltero . A probabilidade de ser um retngulo

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Sejam um tetraedro regular e um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma base comum, e a razo entre as reas totais de e 2. Determine a razo entre os volumes de e .

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Seja a equao . Determine as suas razes reais.

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Considere um ponto cujas coordenadas , , satisfazem o sistema onde um ngulo em radianos diferente de . O lugar geomtrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o ngulo , um segmento de:

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Um aluno distrado desmontou um relgio. Ao remont-lo, trocou a posio dos ponteiros das horas e dos minutos, de modo que o ponteiro das horas passou a girar com a velocidade do ponteiro dos minutos, e vice-versa. Sabendo que o relgio foi acertado para as 4 horas, o intervalo que contm o horrio que marcar a hora certa novamente pela primeira vez

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Um tringulo possui incentro e ex-incentro relativo ao lado . Seento o ngulo

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Seja a equao . A soma dos mdulos das solues reais desta equao

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Se a equao representa no plano real duas retas concorrentes, ento o valor positivo do nmero real c

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Um nmero natural palndromo quando o mesmo lido da esquerda para a direita e vice-versa. Seja um nmero natural palndromo tal que . Se um cubo perfeito, ento a soma dos algarismos de