Questões de Matemática - UFU | Gabarito e resoluções

(UFU - 2020) Considere os seguintes subconjuntos do conjunto dos nmeros inteiros positivos: A = {n : n divisor de 1024} B = {m : m mltiplo de 4 e m 260} Com base nessas informaes, resolva os itens abaixo, justificando suas respostas. A) Determine o nmero de elementos de AB B) Considere todas as funes f: A B que sejam injetoras e satisfaam f(n) = n, para n AB. Quantas funes deste tipo existem?

(UFU - 2020) Para uma certa receita de floral, a proporo de essncia que deve ser diluda em gua de 1 mL de essncia para cada 48 mL de gua. O recipiente utilizado para a preparao da mistura tem formato de um cone circular reto, cujo raio mede 3 cm e a capacidade total de 81 mL. O conta-gotas, utilizado para a essncia, possui uma haste de borracha e um tubo de vidro (que ocupado pelo lquido) com formato de um cilindro circular reto e capacidade para 2 mL. Suponha-se que, na preparao de uma mistura, a altura do volume de gua no recipiente de 18/𝜋 cm. Com base nessas informaes, resolva os itens abaixo, justificando suas respostas. A) Calcule o volume de gua no recipiente (use que 1 mL = 1 cm3). B) Determine a frao da altura do tubo de vidro do conta-gotas (na posio vertical) que deve ser preenchida com essncia para a preparao dessa mistura.

(UFU - 2020 - 1 FASE)Considere a funo 𝑓: ℝ+ ℝ definida por , em que 𝑘 uma constante real. Para que 𝑓 seja uma funo afim, o valor de 𝑘 um nmero

(UFU - 2020 - 1 FASE) As imagens abaixo ilustram o projeto de um escorregador infantil ( esquerda) e sua representao sobre o sistema de coordenadas cartesianas ( direita), dada pelo grfico da funo f(x) = a + cos(x+b), em que a e b so constantes reais, com -/2 b /2. Se as alturas mxima e mnima desse escorregador ocorrem nos pontos de coordenadas (/6, 2) e (7/6, 0), respectivamente, ento a+b igual a

(UFU - 2020 - 1 FASE)Em uma feira de troca de livros, Joo levou 3 livros e Maria levou 7 livros, sendo todos os 10 distintos. Assuma que, em uma troca, Joo recebe de Maria a mesma quantidade de livros que entrega, ou seja, um, dois ou trs livros. Considerando-se apenas o conjunto de livros que cada um obter aps a troca, de quantas maneiras os dois podem trocar seus livros?

(UFU - 2020 - 1 FASE)Suponha-se que a progresso aritmtica (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, , 𝑎20) satisfaa 𝑎3 + 𝑎18 = 256. Ento, o valor de log4 (𝑎1 + 𝑎20)

(UFU - 2020 - 1 fase) Na figura abaixo, o segmento BQ a altura do tringulo ABC relativa ao lado AC, 𝑥 a medida do segmento AQ e 𝑦 a medida do segmento QC. Sabendo-se que a rea do tringulo PAB igual a 2/3 da rea do tringulo PBC, qual o valor da razo 𝑥/𝑦 ?

(UFU - 2020 - 1 fase) Sejam z1 e z2 duas razes cbicas de um nmero complexo w. Considerando-se as representaes geomtricas dessas razes, sabe-se que z1 est situada no primeiro quadrante e que z2 da forma b.i, onde b um nmero real negativo e i a unidade imaginria. Portanto, o coeficiente angular da reta que passa por z1 e z2 igual a

(UFU - 2020 - 1 fase)A tabela abaixo apresenta, em ordem decrescente, a classificao final dos dez pases que mais ganharam medalhas de ouro nas Olimpadas do Rio de 2016 e o respectivo nmero de medalhas. Nessa tabela, no foram apresentados os nmeros de medalhas de ouro da Alemanha e da Itlia, mas sabe-se que o nmero de medalhas de ouro somadas desses dez pases igual a 182. Denotando por ma, m0 e mo, respectivamente, a mdia aritmtica, a mediana e a moda do nmero de medalhas de ouro da tabela, incluindo as medalhas da Alemanha e da Itlia, ento a relao entre essas trs medidas de tendncia central, em ordem decrescente,

(UFU - 2020) Considere as seguintes afirmaes a respeito do polinmio I. p(x)possui apenas duas razes distintas. Il. O grau de p(x) igual a100.. Ill. p(x) divisvel porx+1. IV. O coeficiente deno desenvolvimento dep(x) o nmero binomial. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).

(UFU - 2019 - 2 FASE) O aero Hockey um jogo em que duas pessoas rebatem um disco deslizante sobre uma mesa retangular com o objetivo de acertar o gol de seu adversrio, conforme ilustra a figura abaixo, em que AB mede 90 centmetros e BC mede 3 metros. Imagem ilustrativa e sem escala. Durante uma partida, um dos jogadores lanou o disco, partindo do ponto A, que primeiramente atingiu o lado BC no ponto P, de modo que o trajeto linear AP formou um ngulo de 30 ∘ com o lado AB da mesa, que, em seguida, rebateu diversas vezes nos lados BC e DA da mesa at atingir o lado CD no ponto E. Sabe-se que o trajeto linear do disco, ao bater no ponto P, forma com o lado BC um ngulo de chegada igual ao ngulo de sada, como ilustra a figura, e o processo se repete, alternando-se os lados AD e BC at o disco atingir o ponto E. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Quantas vezes o disco bate em ambos os lados at atingir o lado CD do jogador adversrio? B) Qual a distncia, em cm, entre os pontos D e E? Obs.: considere 3 ≃ 1,7.

(UFU - 2019 - 2 FASE) Uma alternativa prtica de preparar caf de maneira rpida utilizando uma cafeteira italiana, que composta, geralmente, por trs recipientes acoplados com funes de armazenar a gua, o p do caf e o caf pronto. Uma empresa est produzindo uma cafeteira italiana cujo recipiente para a gua tem o formato de um hemisfrio (metade de uma esfera) com 6 cm de altura e o recipiente para o caf pronto tem formato de um cilindro circular reto de altura h cm e com base de 8 cm de dimetro, como ilustra a figura abaixo. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Determine o volume mximo que o recipiente destinado gua suporta. B) Considerando-se que a gua, aps misturada com o caf, passar a ter um volume 2% maior, qual dever ser a altura mnima do recipiente destinado ao caf pronto, supondo-se que o recipiente de gua esteja completamente cheio? Obs.: considere ≃ 3.

(UFU - 2019 - 2 FASE) O uso de dados mveis de um celular est registrado no grfico cartesiano abaixo, em que o eixo das abscissas representa os dias e o eixo das ordenadas registra o total de dados utilizados em cada dia em megabytes. Os picos deste grfico ocorrem nos dias 2, 4 e 6, com o uso de, respectivamente, 25, 35 e 45 megabytes de dados mveis. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Os pares ordenados (4, 35) e (6, 45) determinam uma reta r que corresponde ao grfico de uma funo afim y = f(x). Encontre a expresso para f(x) e verifique se os trs pares ordenados correspondentes aos picos de uso de dados, representados no plano cartesiano acima, so colineares. B) Admitindo-se que o prximo pico ocorrer no oitavo dia e que o ponto P correspondente a este dia colinear aos picos de coordenadas (4, 35) e (6, 45), determine a ordenada do ponto P.

(UFU - 2019 - 2 FASE) A equao de segundo grau , em que x a incgnita, uma constante e cujas solues e so nmeros inteiros, pode ser expressa na forma de um produto de monmios de primeiro grau:. Com base nas informaes apresentadas, responda aos seguintes itens, registrando as justificativas para as respostas apresentadas. A) Determine todos os possveis valores para a raiz . B) Quais so os valores possveis para a constante ?

(UFU - 2019 - 1 FASE )Para realizar a reforma de um restaurante, uma das paredes ser revestida com peas de cermica quadradas, formando padres retangulares compostos por quatro dessas peas. Cada um desses padres formado por uma pea grande de cor cinza agrupada, na parte superior, a trs peas pequenas de lados iguais, alternando-se as cores preta e cinza, conforme ilustra a imagem a seguir. Os padres sero colocados na parede, da esquerda para a direita, iniciando-se pelo padro formado por duas peas pretas. Sabendo-se que nove desses padres foram aderidos parede, apenas na direo horizontal, um ao lado do outro, cobrindo uma rea total de 2700 , logo a rea total coberta pelas peas pretas , em , igual a