(UNESP - 2013/2 - 1a fase)Uma partcula em moviment

(UNESP - 2013/2 - 1a fase)

Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P₀ , localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P₃ , em r. Na figura, O, O₁ e O₂ são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e  seus respectivos raios.

A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por O_n e  respectivamente, até o ponto n P , também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a