Questões de Matemática - UNICAMP 2017 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Diversas padarias e lanchonetes vendem o cafezinho e o cafezinho com leite. Uma pesquisa realizada na cidade de Campinas registrou uma variao grande de preos entre dois estabelecimentos, A e B, que vendem esses produtos com um volume de 60 𝑚𝑙, conforme mostra a tabela abaixo. Produto A B Cafezinho R$ 2,00 R$ 3,00 Cafezinho com leite R$ 2,50 R$ 4,00 a) Determine a variao percentual dos preos do estabelecimento A para o estabelecimento B, para os dois produtos. b) Considere a proporo de caf e de leite servida nesses dois produtos conforme indica a figura abaixo. Suponha que o preo cobrado se refere apenas s quantidades de caf e de leite servidas. Com base nos preos praticados no estabelecimento B, calcule o valor que est sendo cobrado por um litro de leite.

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sejam 𝑐 um nmero real e 𝑓(𝑥) = 𝑥2 4𝑥 + 𝑐 uma funo quadrtica definida para todo nmero real 𝑥. No plano cartesiano, considere a parbola dada pelo grfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). a) Determine 𝑐 no caso em que a abscissa e a ordenada do vrtice da parbola tm soma nula e esboce o respectivo grfico para 0 𝑥 4. b) Considere os pontos de coordenadas 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) e 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)), onde 𝑎 e 𝑏 so nmeros reais com 𝑎 𝑏. Sabendo que o ponto mdio do segmento 𝑀 = (1, 𝑐), determine 𝑎 e 𝑏. Grfico do campo de respostas

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE) Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lidopor 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemosafirmar corretamente que, nesse grupo,

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Um dado no tendencioso de seis faces ser lanado duas vezes. Aprobabilidade de que o maior valor obtido nos lanamentos seja menor do que3 igual a

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) A figura abaixo exibe trs crculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e raios de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐, respectivamente. a) Determine os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐, sabendo que a distncia entre 𝐴 e 𝐵 de 5 𝑐𝑚, a distncia entre 𝐴 e 𝐶 de 6 𝑐𝑚 e a distncia entre 𝐵 e 𝐶 de 9 𝑐𝑚. b) Para 𝑎 = 2 𝑐𝑚 e 𝑏 = 3 𝑐𝑚, determine o valor de 𝑐 𝑏 de modo que o tringulo de vrtices em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 seja retngulo.

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE) sejauma funo tal que para todo nmero real xtemos que. Ento iguala

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 so nmeros reais, considere o polinmio cbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1. a) Mostre que, se 𝑟 uma raiz de 𝑝(𝑥), ento 1/𝑟 uma raiz do polinmio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1. b) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais a sequncia (𝑝(1), 𝑝(0), 𝑝(1)) uma progresso aritmtica (PA), cuja razo igual a 𝑝(2).

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sabendo que 𝑚 um nmero real, considere o sistema linear nas variveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧: a) Seja 𝐴 a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de 𝑚 para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz 𝐴 igual soma dos elementos da matriz 𝐴2= 𝐴 ∙ 𝐴. b) Para 𝑚 = 2, encontre a soluo do sistema linear para a qual o produto 𝑥𝑦𝑧 mnimo.

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Considere as funese definidaspara todo nmero real x. O nmero de solues daequao igual a

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sabendo que 𝑘 um nmero real, considere a funo 𝑓(𝑥) = 𝑘 sen 𝑥 + cos 𝑥, definida para todo nmero real 𝑥. a) Seja 𝑡 um nmero real tal que 𝑓(𝑡) = 0. Mostre que 𝑓(2𝑡) = 1. b) Para 𝑘 = 3, encontre todas as solues da equao 𝑓(𝑥)2 +𝑓(𝑥)2 = 10 para 0 𝑥 2𝜋.

(UNICAMP - 2017)Considere o quadrado de lado a 0 exibido na figura abaixo.Seja A(x) a funo que associa a cada 0 x a a rea daregio indicada pela cor cinza. O grfico da funo y = A(x) no plano cartesiano dado por

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Considere a circunferncia de equao cartesiana. Qual das equaes a seguir representa uma reta quedivide essa circunferncia em duas partes iguais?

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Sendo a um nmero real, considere a matriz. Ento, igual a

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Sejam a e b nmeros reais. Considere, ento, os doissistemas lineares abaixo, nas variveis x, y e z: e Sabendo que esses dois sistemas possuem uma soluoem comum, podemos afirmar corretamente que

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Considere o polinmioem quen m 1. Se o resto da diviso de p(x) por x + 1 iguala 3, ento