(UNICAMP - 2021 - 2 FASE)Sejam 𝑎, 𝑏 nmeros reais

(UNICAMP - 2021 - 2ª FASE)

Sejam 𝑎, 𝑏 números reais positivos. Considere a sequência de polígonos 𝑃1 , 𝑃2 , ⋯ , 𝑃𝑛, ⋯ construídos da seguinte forma: 

• 𝑃1 é um retângulo de lados 𝑎 e 𝑏, como mostra a figura 1;

• 𝑃2 é obtido de 𝑃1 , retirando dele um retângulo de lados medindo 𝑎/2 e 𝑏/2, como mostra a figura 2;  𝑃3 é obtido de 𝑃1 , retirando dele 3 retângulos de lados medindo 𝑎/3 e 𝑏/3, como mostra a figura 3;

• 𝑃4 é obtido de 𝑃1 , retirando dele 6 retângulos de lados medindo 𝑎/4 e 𝑏/4, como mostra a figura 4;

• E assim, sucessivamente, 𝑃𝑛 é obtido de 𝑃1 , como mostra a figura 5.

a) Determine o perímetro e o número de lados de 𝑃₂₀₂₁.

b) Seja 𝐴𝑛 a área do polígono 𝑃𝑛, e seja 𝐴 a área do triângulo retângulo de catetos com medidas 𝑎 e 𝑏. Encontre a razão \(R_n=\frac{A_n}{A}\) , para 𝑛 arbitrário.