Questões de Matemática - FUVEST 2008 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2008)Joo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preo de um hambrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preo de cada um desses itens.

(FUVEST - 2008)No tringulo ABC , tem-se que AB AC , AC = 4 e . Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e tal que AR = AC e , calcule a) a altura do tringulo ABC relativa ao lado BC . b) a rea do tringulo ABR .

(FUVEST - 2008)Um polinmio de grau 3 possui trs razes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progresso aritmtica em que a soma dos termos igual a . A diferena entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz . Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinmio 5, determine a) a progresso aritmtica. b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinmio.

(FUVEST - 2008) O crculo C , de raio R , est inscrito no tringulo equiltero DEF . Um crculo de raio r est no interior do tringulo DEF e tangente externamente a C e a dois lados do tringulo, conforme a figura. Assim, determine a) a razo entre R e r . b) a rea do tringulo DEF em funo de r .

(FUVEST - 2008)A medida x, em radianos, de um ngulo satisfaz e verifica a equao sen x + sen 2x + sen 3x = 0. Assim, a) determine x. b) calcule cos x + cos 2x + cos3x .

(FUVEST - 2008 - 1 FASE) Por recomendao mdica, uma pessoa deve fazer, durante um curtoperodo, dieta alimentar que lhe garanta um mnimo dirio de 7 miligramas de vitamina A e 60microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de umamistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama devitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas devitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes decereais diariamente, a pessoa ter certeza de estar cumprindo a dieta se

(FUVEST - 2008)So dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferncia de equao , o ponto P (1, ) e a reta s que passa por P e paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferncia. Assim sendo, determine a) a reta tangente circunferncia no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do tringulo OPE

(FUVEST - 2008)Em um jogo entre Pedro e Jos, cada um deles lana, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma nica vez. O dado cbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um nico algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferena entre seus pontos e os pontos de seu adversrio for, no mnimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de a) Pedro vencer na primeira rodada. b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. c) um dos participantes vencer at a quarta rodada.

(FUVEST - 2008) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de comprimento 5 est esticada e presa a um ponto P do poste, situado altura 3 do solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda est no solo, conforme indicado na figura. A corda ento enrolada ao longo das faces 1 e 2, mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, at que a corda toque duas arestas da face 2 em pontos R e B, conforme a figura. Nessas condies, a) Calcule PR. b) Calcule AB.

(FUVEST - 2008)A figura na pgina de respostas representa o nmero no plano complexo, sendo a unidade imaginria. Nessas condies, a) determine as partes real e imaginria de e de . b) represente e na figura ao lado. c) determine as razes complexas da equao z-1=0 .

(FUVEST - 2008)Pedrinho, brincando com seu cubo mgico, colocou-o sobre um copo, de maneira que: x apenas um vrtice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; x os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um tringulo eqiltero. Sabendo-se que o bordo do copo uma circunferncia de raio cm , determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo.

(FUVEST - 2008 - 1 FASE) Sabendo que os anos bissextos so os mltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o prximo ano a comear tambm em uma segunda-feira ser

(FUVEST - 2008 - 1 FASE) No prximo dia 08/12, Maria, que viveem Portugal, ter um saldo de 2.300 euros em suaconta corrente, e uma prestao a pagar no valor de3 500 euros, com vencimento nesse dia. O salrio dela suficiente para saldar tal prestao, mas ser depositadonessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria estconsiderando duas opes para pagar a prestao: Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrar juros de2% ao dia sobre o saldo negativo dirio em sua contacorrente, por dois dias; Pagar no dia 10. Nesse caso, ela dever pagar umamulta de 2% sobre o valor total da prestao. Suponha que no haja outras movimentaes em suaconta corrente. Se Maria escolher a opo 2, ela ter,em relao opo 1,

(FUVEST - 2008 - 1 FASE)Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezvel) foi colocado no solo, a uma certa distncia da torre, e emitiu um raio em direo ao ponto mais alto da torre. O ngulo determinado entre o raio e o solo foi de radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direo torre e o ngulo ento obtido foi de radianos, com . correto afirmar que a altura da torre, em metros,

(FUVEST - 2008 - 1 FASE) Sabe-se sobre a progresso geomtrica a1, a2, a3, ... que a1 0 e a6 = .Alm disso, a progresso geomtrica a1, a5, a9, ... tem razo igual a 9. Nessas condies, o produto a2a7 vale