Questões de Matemática - FUVEST 2019 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questo 1) Resolva os trs itens abaixo. a) O primeiro termo de uma progresso geomtrica de razo positiva 5, e o terceiro termo 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progresso. b) Calcule a soma dos nmeros inteiros positivos menores do que 112 e no divisveis por 4. c) A soma dos n primeiros termos de uma progresso aritmtica n(2n+1), qualquer que seja n 1. Encontre o vigsimo termo dessa progresso.

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questo 2) Na figura, OABC um quadrado e CDE um tringulo equiltero tal que OC = CE = 2 . a) Determine a equao da reta que passa por E e por A b) Determine a equao da reta que passa por D e perpendicular reta c) Determine um ponto P no segmento OA , de modo que a reta que passa por E e por P divida o quadrado em duas regies, de tal forma que a rea da regio que contm o segmento OC seja o dobro da rea da outra regio.

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questo 3) A figura mostra o grfico de uma funo f. a) Encontre todos os valores de tais que f(x) = -1. b) Encontre todos os valores de x tais que c) No sistema cartesiano da folha de respostas, desenhe o grfico da funo y = 1 - f(x+2)

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questo 4) Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma s vez, aleatoriamente, a probabilidade de sarem duas bolas azuis denotada por , a probabilidade de sarem duas bolas brancas denotada por ,e a probabilidade de sarem duas bolas de cores diferentes denotada por a) Se A = 2 e B = 5, determine . b) Se o total de bolas da urna 21 e o triplo de,quantas bolas azuis e quantas bolas brancas h na urna ? c) Se A = 3 , para quais valores de B o valor de estritamente maior do que ?

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questo 5) Conforme se v na figura, em um plano, encontram - se: - duas retas perpendiculares r e s e o ponto O de interseco dessas duas retas; ] - um ponto tal que a medida de 5; - uma circunferncia c, centrada em Q, de raio 1; - um ponto tal que o segmento intersecta c apenas em P. Denotam-se e . a) Calcule, no caso em que assume o mximo valor possvel na descrio acima. b) Calcule, no caso em que Ainda na figura, encontram-se: - a reta contendo Q e P; - a semirreta u partindo de P e contendo O; - a semirreta w partindo de P para fora de c de modo que u e w esto em semiplanos distintos relativos a t. Supe-se que os ngulos formados por u e t, e por w e t sejam iguais a um certo valor a, com . Caso w intersecte r (como o caso da figura), denotam- se R como esse nico ponto de interseco e c) Determine a medida de , no caso em que

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questo 6) A multiplicao de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numerao das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O smbolo * corresponde a um espao). Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam e , respectivamente. Amatriz em que se escreve a mensagem , que, numericamente corresponde a Para fazer a codificao da mensagem, feito o produto de matrizes . a) Se a matriz codificadora e a mensagem a ser transmitida ESCOLA, qual a mensagem codificada que o destinatrio recebe? b)Se a matriz codificadora e odestinatrio recebe a matriz codificada, qual foi a mensagem enviada ? c) Nem toda matriz A uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se, encontre 4 sequncias de 4 letras de forma que as respectivas matrizescodificadas sejam sempre iguais a

(Fuvest 2019 1 fase)Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs. O número total de filhos e filhas da família é

(FUVEST - 2019 )Se a funo definida pore a funo definida por, ento g(x) igual a

(Fuvest 2019 1 fase) Considere a função polinomial ݂definida por ݂f(x) = ax + bx + cem que ܽa, b, c. No plano cartesiano xy,a única intersecção da reta y=2 com o gráfico de fé o ponto ( 2; 2) e a intersecção da reta x=0 com o gráfico de ݂f é o ponto (0; -6). O valor de ܽa+b+c é:

(Fuvest 2019 1 fase)Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do faturamento quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após a inauguração: Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à metade do que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do faturamento obtido ao final do terceiro mês. Considerando que, na ordenada, o faturamento quinzenal está representado em unidades desconhecidas, porém uniformemente espaçadas, qual dos gráficos é compatível com a descrição do comerciante?

(FUVEST - 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas j houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operaes, a altura da pilha ter a ordem de grandeza:

(FUVEST - 2019)A figura mostra uma escada macia de quatro degraus, todos eles com formato de um paraleleppedo reto‐retngulo. A base de cada degrau um retngulo de dimenses 20 cm por 50 cm, e a diferena de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padro, seu volume ser igual a

(FUVEST - 2019)Uma empresa estuda cobrir um vo entre dois prdios (com formato de paraleleppedos reto‐retngulos) que tm paredes laterais paralelas, instalando uma lona na forma de um quadriltero, com pontas presas nos pontos A, B, C e D, conforme indicao da figura. Sabendo que a lateral de um prdio tem 80 m de altura e 28 m de largura, que a lateral do outro prdio tem 60 m de altura e 20 m de largura e que essas duas paredes laterais distam 15 m uma da outra, a rea total dessa lona seria de

(Fuvest 2019 1 fase) Se, para, ento

(FUVEST 2019 1 fase) Um tringulo retngulo com vrtices denominados A, B e C, apoia‐se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horrio. Isto , se a posio inicial aquela mostrada na figura, o movimento comea com uma rotao em torno do vrtice C at o vrtice Atocar o solo, aps o que passa a ser uma rotao em torno de A,at o vrtice Btocar o solo, e assim por diante. Usando as dimenses indicadas na figura (AB = 1e BC = 2), qual o comprimento da trajetria percorrida pelo vrtice B, desde a posio mostrada, at a aresta BCapoiar‐se no solo novamente?