(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questo 6)A multiplicao d

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questão 6)

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

 

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam

\(A=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 &2 \\ 1& 1 \end{smallmatrix}\bigr)\)   e  \(B=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &-2 \\ -1& 3 \end{smallmatrix}\bigr)\), respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é \(M=\bigl(\begin{smallmatrix} F & U & V\\ E & S & T \end{smallmatrix}\bigr)\), que, numericamente corresponde a \(M=\bigl(\begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\\ 5 & 19 & 20 \end{smallmatrix}\bigr).\)

Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes   \(N=A\cdot M=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 &2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\\ 5 & 19 & 20 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 28 & 101 & 106\\ 11 & 40 & 42 \end{smallmatrix}\bigr)\).

a) Se a matriz codificadora é  \(A=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\bigr)\) e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

b) Se a matriz codificadora é  \(A=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\bigr)\)  e o destinatário recebe a matriz codificada \(N = \bigl(\begin{smallmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\\\\ 47 & 13 & 9 & 75 \end{smallmatrix}\bigr)\), qual foi a mensagem enviada ? 

c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se \(A=\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &-7 \\\\ 4& -14 \end{smallmatrix}\bigr)\), encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a \(\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\)