Questões de Matemática - FUVEST 2022 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2022 - 2 fase) Uma sequncia de nmeros naturais construda da seguinte forma: seu primeiro termo escolhido como sendo um nmero natural qualquer. Se for par, entoe, sefor mpar, ento. Os termos seguintesso obtidos de acordo com essa mesma regra. Por exemplo, se, ento,,e assim por diante. Dessa forma, a partir de,, a sequncia definida como a) Para = 22, determine . b) Determine todos os possveis 𝑡ଵ para os quais . c) Para , determine .

(FUVEST - 2022 - 2 fase) Uma funo est definida no intervalo [2 , 9] da seguinte forma: para [2 , 2], leva em e, no restante do domnio, o seu grfico formado por dois segmentos de reta conforme mostra a figura. a) Apresente todos os intervalos do domnio da funo nos quais ela crescente. b) Determine os valores de nos pontos c) Para cada valor de 𝑥 ]0 , 9[ , considere o retngulo 𝑅௫ com vrtices nos pontos e . Escreva a expresso da rea de Rx, em funo de x, para x no intervalo ]0 , 9[.

(FUVEST - 2022 - 2 fase) Considere o conjunto 𝐶 de pontos do plano cartesiano da forma (𝑚 , 𝑛), com 𝑚 e 𝑛 pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. a) Apresente todos os pontos (𝑚 , 𝑛) de 𝐶 para os quais o produto 𝑚∙𝑛 maior do que 60. b) Sorteando-se um ponto (𝑚 , 𝑛) de 𝐶, com iguais probabilidades para todos os pontos, qual a probabilidade de que a frao seja redutvel? c) Sorteando-se, com iguais probabilidades, dois pontos distintos de 𝐶, qual a probabilidade de que a distncia entre eles seja igual a ? Note e adote: Uma frao redutvelquando m e n possuem um divisor natural em comum, alm do 1

(FUVEST - 2022 - 2 fase) Uma pirmide 𝐏 tem base quadrada de lado medindo 1 𝑢. 𝑚., apoiada em um plano , e quatro faces que so tringulos equilteros, ligando a base ao pice de 𝐏. Os dezesseis pontos e, indicados na figura, dividem cada aresta da pirmide em trs segmentos de igual medida. Um novo slido 𝐒, em destaque na figura, produzido subtraindo-se de 𝐏 as cinco pirmides ,,,e . Determine: a) o permetro da face de 𝐒 que se apoia em , cujos vrtices so e . b) o volume de 𝐒. c) a distncia entre e .

(FUVEST - 2022 - 2 fase) Considere, no plano cartesiano, a circunferncia com centro no ponto (0 , 3) e com raio 2 e, para cada,,a parbola cuja equao y = 𝑎x2+ 1. a) Para 𝑎 = 1, encontre o ponto comum entre a circunferncia e a parbola. b) Para 𝑎 = 1, apresente 3 pontos em comum entre a circunferncia e a parbola. c) Encontre todos os valores de 𝑎 para os quais a circunferncia e a parbola possuam exatamente 3 pontos em comum.

(FUVEST - 2022 - 2 fase) Uma empresa distribuidora de alimentos tem latas de ervilha (E) e latas de milho (M), em dois pesos, 1 kg e 2kg, totalizando 4 (quatro) tipos de latas: E1 e E2 (ervilha, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente) e M1 e M2 (milho, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente). Essas latas so agrupadas em pacotes para envio aos comerciantes. Dois pacotes de latas so considerados iguais se contiverem a mesma quantidade de latas de cada tipo, independentemente da maneira como so organizadas no pacote. a) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1 e E2? Na contagem, deve-se tambm levar em conta pacotes formados por apenas 1 tipo dessas latas. b) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1, E2 e M1? Na contagem, deve-se tambm levar em conta pacotes formados por apenas 1 ou 2 tipos dessas latas. c) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 20kg (vinte quilos) podem ser montados usando-se latas dos tipos E1, E2, M1 e M2? Na contagem, deve-se tambm levar em conta pacotes formados por apenas 1, 2 ou 3 tipos dessas latas.

(FUVEST- 2022 - 1 fase) Atualmente, no Brasil, coexistem dois sistemas de placas de identificao de automveis: o padro Mercosul (o mais recente) e aquele que se iniciou em 1990 (o sistema anterior, usado ainda pela maioria dos carros em circulao). No sistema anterior, utilizavam-se 3 letras (em um alfabeto de 26 letras) seguidas de 4 algarismos (de 0 a 9). No padro Mercosul adotado no Brasil para automveis, so usadas 4 letras e 3 algarismos, com 3 letras nas primeiras 3 posies e a quarta letra na quinta posio, podendo haver repeties de letras ou de nmeros. A figura ilustra os dois tipos de placas. Dessa forma, o nmero de placas possveis do padro Mercosul brasileiro de automveis maior do que o do sistema anterior em

(FUVEST - 2022 - 1 fase) O sistema de numerao conhecido como chins cientfico (ou em barras) surgiu provavelmente h mais de dois milnios. O sistema essencialmente posicional, de base 10, com o primeiro algarismo direita representando a unidade. A primeira linha horizontal de smbolos da figura mostra como se representam os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quando aparecem em posies mpares (unidades, centenas etc.), e a segunda linha quando tais algarismos aparecem em posies pares (dezenas, milhares etc.). Nesse sistema, passou-se a usar um crculo para representar o algarismo zero a partir da Dinastia Sung (960-1126). Howard Eves, Introduo Histria da Matemtica. Traduo: Hygino H. Domingues. Editora Unicamp, 2011 (5 ed.). Assinale a alternativa que representa o nmero 91625 nesse sistema de numerao.

(FUVEST - 2022 - 1 fase) Um vdeo tem trs minutos de durao. Se o vdeo for reproduzido, desde o seu incio, com velocidade de 1,5 vezes a velocidade original, o tempo de reproduo do vdeo inteiro ser de

(FUVEST - 2022 - 1 fase) Uma indstria produz trs modelos de cadeiras (indicadas por, e ), cada um deles em duas opes de cores: preta e vermelha (indicadas por P e V, respectivamente). A tabela mostra o nmero de cadeiras produzidas semanalmente conforme a cor e o modelo: P V 500 200 400 220 250 300 As porcentagens de cadeiras com defeito so de 2% do modelo , 5% do modelo e 8% do modelo . As cadeiras que no apresentam defeito so denominadas boas. A tabela que indica o nmero de cadeiras produzidas semanalmente com defeito (D) e boas (B), de acordo com a cor, :

(FUVEST- 2022 - 1 fase) Os funcionrios de um salo de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da diviso igualitria do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na diviso do custo do presente foi:

(FUVEST - 2022 - 1 fase) Uma empresa construiu um poo para armazenar gua de reso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construo foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poo :

(FUVEST - 2022 - 1 fase) Um deltaedro um poliedro cujas faces so todas tringulos equilteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vrtices, ento o nmero de faces desse deltaedro : Note e adote: Em poliedros convexos, vale a relao de Euler , em que o nmero de faces, o nmero de arestas e o nmero de vrtices do poliedro.

(FUVEST- 2022 - 1 fase) A figura mostra um quadrado e um crculo, ambos com centro no ponto 𝑂. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o crculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto 𝐴 est sobre o contorno do quadrado, o ponto 𝐵 est sobre o contorno do crculo, e o segmento 𝐴𝐵 tem tamanho 2 u.m. Quando o ngulo for mximo, seu cosseno ser:

(FUVEST- 2022 - 1 fase) Suponha que o polinmio , em que 𝑚 um nmero real, tenha uma raiz real dupla 𝑎 e uma raiz real simples 𝑏. O valor da soma de 𝑚 com 𝑎 :