Questões de Matemática - IME 2012 | Gabarito e resoluções

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere , com a e b nmeros reais positivos. Determine o valor de m, nmero real, para que a equao tenha trs razes reais em progresso aritmtica.

[IME - 2012/2013 - 1 fase] Os polinmios P(x) = x3 + ax2 + 18 e Q(x) = x3 + bx + 12 possuem duas razes comuns. Sabendo que a e b so nmeros reais, pode-se afirmar que satisfazem a equao

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expresso.

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere a, b e c nmeros inteirose 2 . Determine o(s) valor(es) de,e, que satisfaam o sistema de equaes.

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere a matriz. Seja a matriz, comenmeros inteiros. Determine a soma, em funo de, dos quatro elementos da matriz.

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere a equao. A soma dos quadrados das solues reais dessa equao est contida no intervalo.

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere, com representando o produto dos termos desde k = 0 at k = n, sendo k e n nmeros inteiros. Determine o(s) valor(es) de m, nmero real, que satisfaa(m) a equao .

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere as inequaes abaixo: I. II. III. Esta(o) correta(s), para quaisquer valores reais e positivos de a, b e c, a(s) inequao(es):

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere o sistema de equaes com a, b, c, d, p e q reais, , a + b = m e d = nc. Sabe-se que o sistema indeterminado. O valor de p + q

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere, Z1 e Z2, complexos que satisfazem a equao x+ px + q = 0, onde p e q so nmeros reais diferentes de zero. Sabe-se que os mdulos de Z1 e Z2 so iguais e que a diferena entre os seus argumentos vale , onde diferente de zero. Determine o valor de em funo de p e q.

[IME - 2012/2013 - 1a fase] O coeficiente de no desenvolvimento de :

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere um tringulo ABC com lado BC igual a L. So dados um ponto D sobre o lado AB e um ponto E sobre o lado AC, de modo que sejam vlidas as relaes , com m 1. Pelo ponto mdio do segmento DE, denominado M, traa-se uma reta paralela ao lado BC, interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H. Calcule o comprimento do segmento MH, em funo de m e L.

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Seja um tringulo ABC. AH a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos possveis valores inteiros de BM

[IME- 2012/2013- 2fase] Considereum crculo com centro C, na origem, e raio 2. Esse crculo intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B, sendo a abscissa de A menor do que a abscissa de B. Considere P e Q, dois pontos desse crculo, com ordenadas maiores ou iguais a zero. O ngulo formado entre o segmento CP e CQ vale/3 rad. Determine a equao do lugar geomtrico descrito pelo ponto de interseo dos segmentos AP e BQ internos ao crculo.

[IME- 2012/2013- 2fase] So dadas duas matrizes A e B tais quee, com x e y reais e x y. Determine a) o(s) valor(es) de x e y. b) as matrizes A e B que satisfazem as equaes apresentadas.