Questões de Matemática - IME 2016 | Gabarito e resoluções

(IME - 2016/2017- 2 fase) Em um tringulo ABC, a medida da bissetriz interna AD a mdia geomtrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da mediana AM a mdia geomtrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M esto sobre o lado BC de medida . Pede-se determinar os lados AB e AC do tringulo ABC em funo de .

(IME - 2016/2017 - 1 fase)Sejam x, y e z nmeros complexos que satisfazem ao sistema de equaes abaixo: O valor da soma x3+y3+z3 :

(IME - 2016/2017- 2 fase) Em um cone equiltero so inscritas duas esferas de raiose, conforme a figura abaixo.Um plano secante ao cone traado de forma que este seja tangente s duas esferas. Determine em termos de o maior segmento que une dois pontos da curva formada pela interseco do referido plano com o cone.

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Um hexgono dividido em 6 tringulos equilteros. De quantas formas podemos colocar os nmeros de 1 a 6 em cada tringulo, sem repetio, de maneira que a soma dos nmeros em trs tringulos adjacentes seja sempre mltiplo de 3? Solues obtidas por rotao ou reflexo so diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas solues distintas.

(IME - 2016/2017) Sejam uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica de termos inteiros, de razo e razo , respectivamente, onde e so inteiros positivos, com e . Sabe-se, tambm, que , . O valor de :

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Sejam os pontos , , , e .A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentgono ABCDE em dois polgonos de mesma rea. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseo da reta r com a reta que liga C e D.

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a. A rea do novo quadriltero formado pelas intersees dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede:

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Um tronco de pirmide regular possui 12 vrtices. A soma dos permetros das bases 36 cm, a soma das reas das bases cm2 e sua alturamede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirmide.

(IME - 2016/2017 - 1 fase) O polinmio P(x) = x3 - bx2 + 80x - c possui trs razes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das razes do polinmio so divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c c2. Qual o valor de b?

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Sejam Z1 e Z2 nmeros complexos tais que Z2 imaginrio puro e |Z1-Z2|=|Z2|. Para quaisquer valores de Z1 e Z2 que atendam a essas condies tem-se que: