(IME - 2018/2019 - 2 FASE )Um conjunto ptico forma

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE )

Um conjunto óptico é formado por uma lente convergente e um prisma de Amici, conforme mostra a Figura 1. O conjunto está totalmente integrado, sendo formado pelo mesmo vidro. A lente possui centro óptico O e foco F situado sobre a face-hipotenusa do prisma. Nesse prisma, os raios incidentes sobre a face-hipotenusa sofrem reflexão interna total. Uma lanterna cilíndrica muito potente, com potência óptica de \(P = \pi\sqrt3 W\)e diâmetro d=10 cm, gera raios de luz paralelos ao eixo principal da lente. A lanterna está solidária ao sistema óptico e seus raios são focalizados pela lente e refletidos pelo prisma, até a sua face-cateto plana, saindo do prisma e projetando a luz sobre um anteparo plano alinhado verticalmente. Conforme mostra a Figura 2, no intervalo \(0\leqslant t < 12s,\) todo o conjunto óptico começa a girar, a partir do instante em que P coincide com T, em velocidade angular constante \(\omega =\pi/36\) rad/s. Dessa forma, o contorno da luz projetada no anteparo passa a ser uma curva plana, conhecida na matemática. 

Diante do exposto, determine: 

a)  o ângulo de abertura \(\theta\) do cone formado na saída do prisma, quando o índice de refração do conjunto óptico é o mínimo para que o feixe luminoso seja totalmente refletido na face-hipotenusa; 

b) a expressão da velocidade escalar v(t) com que o ponto P (interseção do eixo do cone com o anteparo) desloca-se verticalmente ao longo do anteparo, e 

c) a densidade de potência W/m², da luz projetada no anteparo, em t = 9s. Neste caso, considere que todas as dimensões do prisma são muito pequenas em relação à distância para o anteparo, ou seja, o ângulo de abertura é \(\theta\) ao longo de todo o cone de saída, a partir de F. 

 

Dados: 

- o meio externo é o ar : \(n_1=1\) ;

- \(\overline{OF}=\overline{FA}=5(1+2\sqrt{2})cm;\)

- a separação horizontal entre o foco F da lente e o anteparo, no ponto T, é \(\overline{FT}=10m;\)

 

Observação:

- a linha   \(\overline{FP},\)  prolongamento de \(\overline{FA},\) é o eixo do cone;

- o ângulo \(\theta\) é o ângulo entre o eixo e qualquer geratriz do cone de luz de saída do prisma, e

- desconsidere qualquer perda da intensidade luminosa ao longo de todo o percurso até o anteparo.