Questões de Matemática - IME 2023 | Gabarito e resoluções

Sejam dois dados cbicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro (com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabilidade de ocorrncia. Com um nico lanamento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontuao com o dodecaedro do que com os dois dados cbicos somados :

Para n natural positivo, o nmero On definido como a soma dos n primeiros termos da progresso aritmtica de razo 6 iniciada em 1. Dos 2024 primeiros nmeros On, quantos apresentam resto 1 na diviso por 8 ?

Os pontos A(1, 3), B(2, 6), C(7, 5) e D(7, 3) situam-se sobre lados distintos de um quadrado EFGH. Determine as coordenadas dos vrtices desse quadrado.

Considere uma pirmide triangular regular reta de altura h. Uma esfera de raio r contm os ortocentros das faces laterais da pirmide e o vrtice do qual foi traada a altura da pirmide. Calcule o volume da pirmide em funo de r e h.